(UERJ 2016) Em um triângulo equilátero de perímetro igual a 6 cm, inscreve-se um retângulo

y = √3/2

x = 1

perímetro do triângulo = 6 

3 L  = 6 

L = 2 (lado do triângulo)

Altura do triângulo equilátero = L√ 3 /2  = 2√ 3/2 = √ 3.

Usando semelhança entre o triângulo ADB e o triângulo pequeno no lado esquerdo (FEB), temos:

\(y/√ 3 = (1-x/2)/1\)

\(y = √ 3 - (√ 3/2) x \)

Portanto, a área do retângulo será:

\(A = x*y = x(√ 3 - (√ 3/2)x) = (-√ 3/2)x² +√ 3x \)

Trata-se de uma equação do segundo grau e para encontrar a área máxima, precisamos do Xv.

\(Xv = -b/2a = -√ 3/ (2(-√ 3/2)) = -√ 3 /( -√ 3) = 1 \)

Substituindo x , temos que 

\(y = √ 3 -√ 3/2 = √ 3/2 cm \)

Resposta: x = 1 cm e y = √ 3/2 cm