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(PUCRJ 2012) Sejam:

f(x) = \(x^2\) + 1 e g(x) = \(x^2\) − 1.

Então a equação f(g(x)) − g(f(x)) = −2 tem duas soluções reais.

O produto das duas soluções é igual a:

(A) −2 (B) −1 (C) 0 (D) 1 (E) 2

MatemáticaUNINTER

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Profª. Thayná Leal Verified user icon

Há mais de um mês

Vamos por etapas:

f(g(x)) = (x²-1)² + 1 = \(x^4 -2x² + 1 + 1 = x^4 - 2x² + 2 \)

g(f(x)) = (x²+1)² - 1 = \(x^4 + 2x + 1 - 1 = x^4 + 2x ² \)

Subtraindo, temos:

\(x^4 - 2x² + 2 - x^4 - 2x² = -4x² + 2 \)

Igualando a -2 , temos

-4x² + 2 =  - 2 

-4x² = - 4 

x² = 1 

x = 1 ou x = - 1.

Produto das soluções = 1 (-1) = -1. (letra B)

Vamos por etapas:

f(g(x)) = (x²-1)² + 1 = \(x^4 -2x² + 1 + 1 = x^4 - 2x² + 2 \)

g(f(x)) = (x²+1)² - 1 = \(x^4 + 2x + 1 - 1 = x^4 + 2x ² \)

Subtraindo, temos:

\(x^4 - 2x² + 2 - x^4 - 2x² = -4x² + 2 \)

Igualando a -2 , temos

-4x² + 2 =  - 2 

-4x² = - 4 

x² = 1 

x = 1 ou x = - 1.

Produto das soluções = 1 (-1) = -1. (letra B)

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas