Determinar a distância do ponto a reta: a) ponto (7,7,4) à reta 6x+2y+z-4=0 e 6x-y-2z-10=0 b) ponto (-1,2,3) à reta x-76=y+3-2=z

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Dado um ponto \(\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\)e um plano \(ax + by + cz + d = 0\) podemos encontrar a distância entre eles através da seguinte fórmula:

\[D = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\]

Para o ponto \(\left( {7,7,4} \right)\)e o plano \(6x + 2y + z - 4 = 0\) por comparação, temos a distância:

\[\eqalign{ {D_1} &= \dfrac{{\left| {6 \cdot 7 + 2 \cdot 7 + 1 \cdot 4 - 4} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2} + {1^2}} }}\cr &= \dfrac{{56}}{{\sqrt {41} }} }\]

E, para o ponto \(\left( {7,7,4} \right)\)e o plano \(6x - y - 2z - 10 = 0\) temos de forma análoga:

\[\eqalign{ {D_2} &= \dfrac{{\left| {6 \cdot 7 - 1 \cdot 7 - 2 \cdot 4 - 10} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\cr &= \dfrac{{17}}{{\sqrt {41} }} }\]

Portanto, temos que \(\boxed{{D_1} = \dfrac{{56}}{{\sqrt {41} }}}\)e \(\boxed{{D_2} = \dfrac{{17}}{{\sqrt {41} }}}\)

b)

Do enunciado, temos que o plano é dado por \(z = x - 76\)e \(z = y + 1\) Igualando as duas expressões, a equação do plano fica:

\[\eqalign{ x - 76 &= y + 1\cr x - y - 77 &= 0 }\]

Assim, utilizando o mesmo método do item anterior com o ponto \(\left( { - 1,2,3} \right)\) temos:

\[\eqalign{ D &= \dfrac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) - 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 - 77} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }}\cr &= \dfrac{{80}}{{\sqrt 2 }}\cr &= 40\sqrt 2 }\]

Portanto, temos que \(\boxed{D = 40\sqrt 2 }\)