Ache as distâncias entre os pontos e as retas dadas: a) (-3, 4) a 5x-2y=3 b) (-2, 5) a 7x+3=0 c) (3, 4) a 4y+5=0 d) Origem a 3x-2y+6=0

existe umas tabelas com formulas que sao bem legais para fazer esses tipos de calculos

Dado um ponto \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\)e uma reta \(ax + by + c = 0\) podemos determinar a distância entre o ponto e a reta por meio da seguinte expressão:

\[d = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]

Do enunciado, temos o ponto \(\left( { - 3,4} \right)\)e a reta \(5x - 2y -3= 0\) Assim, na expressão anterior:

\[\eqalign{ d &= \dfrac{{\left| {5 \cdot \left( { - 3} \right) - 2 \cdot 4 - 3} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\cr &= \dfrac{{26}}{{\sqrt {29} }} }\]

Portanto, temos que \(\boxed{d = \dfrac{{26}}{{\sqrt {29} }}}\)

b)

Analogamente ao item anterior, temos o ponto \(\left( { - 2,5} \right)\)e a reta \(7x + 3 = 0\) Assim, substituindo na expressão:

\[\eqalign{ d &= \dfrac{{\left| {7 \cdot \left( { - 2} \right) + 0 \cdot 5 + 3} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {0^2}} }}\cr &= \dfrac{{11}}{7} }\]

Portanto, temos que \(\boxed{d = \dfrac{{11}}{7}}\)

c)

Analogamente ao item anterior, temos o ponto \(\left( {3,4} \right)\)e a reta \(4y + 5 = 0\) Assim, substituindo na expressão:

\[\eqalign{ d &= \dfrac{{\left| {0 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 5} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {4^2}} }}\cr &= \dfrac{{21}}{4} }\]

Portanto, temos que \(\boxed{d = \dfrac{{21}}{4}}\)

d)

Analogamente ao item anterior, temos o ponto \(\left( {0,0} \right)\)e a reta \(3x - 2y + 6 = 0\) Assim, substituindo na expressão:

\[\eqalign{ d &= \dfrac{{\left| {3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\cr &= \dfrac{6}{{\sqrt {13} }} }\]

Portanto, temos que \(\boxed{d = \dfrac{6}{{\sqrt {13} }}}\)