A maior rede de estudos do Brasil

Fenotran

no escoamento laminar de um fluido o diagrama de velocidade e dado por: V=Vmax[1-(r/R)², onde R é o raio do conduto e r é o raio generico. mostre que Vm/Vmax= 0.5


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

User badge image

RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

O fluxo laminar caracteriza-se como sendo um determinado tipo de fluxo caracterizado pela difusão de alto momento e pela convecção de baixo momento.

Sabendo disso, temos que:


\[\eqalign{ & {V_{med}} = \dfrac{1}{{\pi {R^2}}} \cdot {V_{\max }} \cdot 2\pi \int\limits_0^R {\left\{ {\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{r}{R}} \right)}^2}} \right]} \right\}rdr} \cr & {V_{med}} = \dfrac{1}{{\pi {R^2}}} \cdot {V_{\max }} \cdot 2\pi \int\limits_0^R {\left\{ {\left[ {r - \left( {\dfrac{{{r^3}}}{{{R^2}}}} \right)} \right]} \right\}rdr} \cr & {V_{med}} = \dfrac{{2{V_{\max }}}}{{{R^2}}} \cdot \int\limits_0^R {\left\{ {\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{r}{R}} \right)}^2}} \right]} \right\}dr} \cr & {V_{med}} = \dfrac{{2{V_{\max }}}}{{{R^2}}} \cdot \int\limits_0^R {\left\{ {\dfrac{{{r^2}}}{2} - \left[ {\dfrac{1}{{{R^2}}}\left( {\dfrac{{{r^4}}}{4}} \right)} \right]} \right\}_0^R} \cr & {V_{med}} = \dfrac{{2{V_{\max }}}}{{{R^2}}} \cdot \left\{ {\left[ {\dfrac{{{R^2}}}{2} - \dfrac{{{R^2}}}{4}} \right] - 0} \right\} \cr & {V_{med}} = \dfrac{{2{V_{\max }}}}{{{R^2}}} \cdot \left( {\dfrac{{{R^2}}}{4}} \right) \cr & {V_{med}} = \dfrac{{2{V_{\max }}}}{4} \cr & \dfrac{{{V_{med}}}}{{{V_{\max }}}} = 0,5 }\]

Portanto, obtemos que \(\boxed{\dfrac{{{V_{med}}}}{{{V_{\max }}}} = 0,5}\).

O fluxo laminar caracteriza-se como sendo um determinado tipo de fluxo caracterizado pela difusão de alto momento e pela convecção de baixo momento.

Sabendo disso, temos que:


\[\eqalign{ & {V_{med}} = \dfrac{1}{{\pi {R^2}}} \cdot {V_{\max }} \cdot 2\pi \int\limits_0^R {\left\{ {\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{r}{R}} \right)}^2}} \right]} \right\}rdr} \cr & {V_{med}} = \dfrac{1}{{\pi {R^2}}} \cdot {V_{\max }} \cdot 2\pi \int\limits_0^R {\left\{ {\left[ {r - \left( {\dfrac{{{r^3}}}{{{R^2}}}} \right)} \right]} \right\}rdr} \cr & {V_{med}} = \dfrac{{2{V_{\max }}}}{{{R^2}}} \cdot \int\limits_0^R {\left\{ {\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{r}{R}} \right)}^2}} \right]} \right\}dr} \cr & {V_{med}} = \dfrac{{2{V_{\max }}}}{{{R^2}}} \cdot \int\limits_0^R {\left\{ {\dfrac{{{r^2}}}{2} - \left[ {\dfrac{1}{{{R^2}}}\left( {\dfrac{{{r^4}}}{4}} \right)} \right]} \right\}_0^R} \cr & {V_{med}} = \dfrac{{2{V_{\max }}}}{{{R^2}}} \cdot \left\{ {\left[ {\dfrac{{{R^2}}}{2} - \dfrac{{{R^2}}}{4}} \right] - 0} \right\} \cr & {V_{med}} = \dfrac{{2{V_{\max }}}}{{{R^2}}} \cdot \left( {\dfrac{{{R^2}}}{4}} \right) \cr & {V_{med}} = \dfrac{{2{V_{\max }}}}{4} \cr & \dfrac{{{V_{med}}}}{{{V_{\max }}}} = 0,5 }\]

Portanto, obtemos que \(\boxed{\dfrac{{{V_{med}}}}{{{V_{\max }}}} = 0,5}\).

User badge image

Marcio Augusto

Há mais de um mês

A resolução está no final deste texto, primeiro devemos entender estas definições.

Na Cinemática dos Fluidos podemos determinar a vazão se a velocidade V for uniforme na seção transversal. Para isso usamos a equação:

                      

No caso específico de um conduto circular, há momentos que a velocidade não é uniforme. E para determinar a vazão, neste caso, devemos analisar de maneira Infinitesimal, em que a velocidade será em função do raio V(r). 

Assim:

                   

                 

Podemos dizer também que a vazão total deste conduto circular seja a Velocidade Média (Vméd) na seção transversal (A), baseado no gradiente de velocidade. Vejamos:

                  

Igualando as duas vazões Q1 e Q2, temos que:

                  

                  

                                                             



 

RESOLUÇÃO:

Considerando um escoamento laminar onde o diagrama de velocidade é dada pela função:

                     

                     

                     

                     

Devemos mostrar que é realmente um escoamento laminar onde:

                     

Primeiras Considerações:       

                     

                    

                     :

                     

                   

                    

 

Agora, depois dessas primeiras considerações, podemos aplicar na Fórmula da Velocidade Média na Seção:

                                                                      

Dados:

               

               

               

Substituindo estes dados na fórmula teremos:

                                                          

Como Vmáx e  são constantes, estes valores saem da Integral. E como a seção do conduto tem raio variando entre 0 e R (onde pode se ter escoando a velocidade máxima do fluido) teremos uma integral definida variando entre esses limites:

                                                         

                                                         

                                                         

                                                         

                                                         

                                                         

                                                         

                                                         

                                                         

                                                         

                                                         

                                                          

 

                                                       

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas