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Gráfico de Parabola - Algebra Linear

As parábolas são curvas cônicas com características específicas em relação  ao foco, à diretriz e ao vértice. A distância dos pontos da parábola é a mesma do foco e da diretriz. O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo de uma parábola com diretriz paralela ao eixo    . A seguir apresentamos o gráfico de uma parábola.
 
 
Parábola no plano.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
 
Assinale a alternativa que apresenta as coordenadas do foco (F), a equação da reta diretriz (d) e as coordenadas do vértice (V) da parábola dada, respectivamente.

   

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3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Da teoria de parábola, caso sua equação esteja escrita na forma:


\[y = {1 \over {2\left( {b - k} \right)}}{\left( {x - a} \right)^2} + {{b + k} \over 2},\]

as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz são dadas por:


\[\eqalign{ & F\left( {a,b} \right) \cr & d:y = k. }\]

Portanto, nesse problema precisamos encontrar a equação da parábola e colocá-la na forma acima. As raízes da parábola (quando \(y=0\)) são -1 e 5. Dessa forma, temos:


\[y = - \left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right) \Rightarrow y = - {x^2} + 4x + 5\]

Note que foi colocado um sinal negativo antes dos parêntesis. Esse sinal indica que a concavidade da parábola é para baixo. Agora, devemos colocar essa expressão de acordo com a que foi escrita anteriormente. Fazendo as manipulações matemáticas necessárias, encontramos:


\[y = {1 \over {2\left( {{{35} \over 4} - {{37} \over 4}} \right)}}{\left( {x - 2} \right)^2} + {{{{35} \over 4} + {{37} \over 4}} \over 2}\]

Portanto, \(a=2\); \(b = {{35} \over 4}\); e \(k = {{37} \over 4}\) Assim, o foco da parábola está no ponto \(F\left( {2,{{35} \over 4}} \right)\) reta diretriz é dada por \(d:y = {{37} \over 4}\)e o vértice da parábola, que pode ser facilmente encontrado observando o gráfico, está no ponto \(V\left( {2,9} \right)\) Essas respostas se encontram na alternativa B.

Da teoria de parábola, caso sua equação esteja escrita na forma:


\[y = {1 \over {2\left( {b - k} \right)}}{\left( {x - a} \right)^2} + {{b + k} \over 2},\]

as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz são dadas por:


\[\eqalign{ & F\left( {a,b} \right) \cr & d:y = k. }\]

Portanto, nesse problema precisamos encontrar a equação da parábola e colocá-la na forma acima. As raízes da parábola (quando \(y=0\)) são -1 e 5. Dessa forma, temos:


\[y = - \left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right) \Rightarrow y = - {x^2} + 4x + 5\]

Note que foi colocado um sinal negativo antes dos parêntesis. Esse sinal indica que a concavidade da parábola é para baixo. Agora, devemos colocar essa expressão de acordo com a que foi escrita anteriormente. Fazendo as manipulações matemáticas necessárias, encontramos:


\[y = {1 \over {2\left( {{{35} \over 4} - {{37} \over 4}} \right)}}{\left( {x - 2} \right)^2} + {{{{35} \over 4} + {{37} \over 4}} \over 2}\]

Portanto, \(a=2\); \(b = {{35} \over 4}\); e \(k = {{37} \over 4}\) Assim, o foco da parábola está no ponto \(F\left( {2,{{35} \over 4}} \right)\) reta diretriz é dada por \(d:y = {{37} \over 4}\)e o vértice da parábola, que pode ser facilmente encontrado observando o gráfico, está no ponto \(V\left( {2,9} \right)\) Essas respostas se encontram na alternativa B.

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