Um poliedro de 16 arestas e 9 vértices é formado por faces triangulares e quadranculares. Qual número de faces triangulares e quadrangulares?

 2A = 3f₃ + 4f₄ + 5f₅ + ... (onde o f₃ é o nº de faces triangulares, f₄ é o nº de faces quadrangulares, f₅ é o nº de faces pentagonais etc.

Então temos;

2A = 3f₃ + 4f₄

2(16) = 3f₃ + 4f₄

3f₃ + 4f₄ = 32

Para calcular o nº de faces usamos a relação de Euler;

V + F = A + 2

9 + F = 16 + 2

F = 16 + 2 - 9

F = 9

Então:

f₃ + f₄ = 9

f₃ = 9 - f₄

Substituindo na equação 3f₃ + 4f₄ = 32 temos:

3(9 - f₄) + 4f₄ = 32

27 - 3f₄ + 4f₄ = 32

27 + f₄ = 32

f₄ = 32 - 27

f₄ = 5

Substituindo em f₃ = 9 - f₄ temos

f₃ = 9 - 5

f₃ = 4

O poliedro tem 4 faces triangulares e 5 faces quadrangulares.

Como trata-se de um poliedro convexo, o número de arestas = faces/2 

nº de faces triangulares = x 

nº de faces quadrangulares = y 

total de faces : x + y 

Temos total de arestas: (3x+4y)/2 = 16

3x + 4y = 32 

Isolando, temos que 

3x = 32 - 4y

x = (32-4y)/3 

Usando a relação de Euler, temos:

V + F = A + 2

9 + x + y = 16 + 2

9 + x + y = 18

x + y = 9

Substituindo x, temos

32 - 4y +3y = 27

-y = 27 - 32

y = 5

Logo, x = 4.

faces triangulares = 4

faces quadrangulares = 5