Alguém me ajuda por favor?? Cálculo I Achar a área

Olá! Sou o Gabriel, vou tentar lhe ajudar.

Questão 1: Area entre duas funções:

A parábola \(y=x² \)      e  a reta  \(x+y=2\)  em que podemos ( e devemos) isolar o y. Assim temos:  \(y=2-x\)

Para calcularmos a área entre as funções, precisamos analisar o ponto de intersecção entre elas afim de indentificar os limites da figura que queremos calcular a área.
Este ponto está bem óbvio no gráfico dado, sendo (1,1).

Assim, a figura é divida em duas metades, sendo limitada na esquerda pela parábola e na direita pela reta.

A primeira metade é a integral que calcula a área da parábola até a reta x=1.

A segunda metade é a integral que calcula a área da reta x=1 à reta 2-x.

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Para calcular a primeira metade da área vamos calcular a integral da parábola:

\(\int_{0}^{1} {x^2} dx\), esta integral nos dará a área entre 0 e 1 para x. Resolvendo-a temos:

\(\int_{0}^{1} x² dx = \frac{x^3}{3} |^1_0=(\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3})=\frac{1}{3}\)    ----------- primeira metade

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Precisamos calcular a outra metade da área, que é dada pela integral da reta partindo-se de 1 para x até 2.

\(\int_{1}^{2} 2-x \ dx = 2x-\frac{x^2}{2}|^2_1=[(2\times 2-\frac{2^2}{2})-(2\times 1-\frac{1^2}{2})]=4-2-2+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) ----------------- segunda metade.

Somando as duas metades temos a área completa:

\(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2+3}{6}=\frac{5}{6}\) ------ que é a resposta para a questão 1.

Questão 2:

Sem grandes segredos; tanto a função quanto o intervalo são definidos no gráfico dado; Assim sendo a área é dada pela integral:

\(\int_{0}^{\pi} (1-cos(x))\times sin(x) \ dx = \int_{0}^{\pi} sin(x)-sin(x)cos(x) \ dx\), onde apenas fiz a distributiva.

Podemos quebrar esta integral em duas, sendo assi:

\(\int_{0}^{\pi} sin(x) \ dx - \int_{0}^{\pi}sin(x)cos(x) \ dx\), a primeira integral é fácil; vamos resolvê-la:

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\(\int_{0}^{\pi} sin(x) \ dx = -cos(x)|^\pi_0=[-cos(\pi)-(-cos(0)]=(-(-1)-(-1))=(1+1)=2\)

--- Para a outra integral, mais feia, vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:

\(sin(2x)=2sin(x)cos(x)\), como temos apenas \(sin(x)cos(x)\), precisamos multiplicar a integral por dois; Assim temos:

\( \int_{0}^{\pi}2sin(x)cos(x) \ dx = \int_{0}^{\pi} sin(2x)\ dx\), que podemos resolver utilizando a Regra da Substituição.

Sendo \(u=2x \\ du=2 dx \\ dx = \frac{du}{2}\), o que significa que podemos alterar 2x por u, mas dividindo toda a integral por 2.

Vamos, também, fazer a substituição dos intervalos:

Se \(u=2x \\ \), para \(x=\pi\) temos \(u=2\pi\)

E para \(x=0\) , nosso u também será zero. Assim, com os intervalos redefinidos, podemos fazer a substituição:

\( \int_{0}^{2\pi} \frac{sin(u)}{2} du = \frac{1}{2} \times \int_{0}^{2\pi} sin(u) \ du = \frac{1}{2} \times [-cos(2\pi)-(-cos(0)]= \frac{1}{2} \times (-1+1)= \frac{1}{2} \times 0=0\)

A resposta é diferença:

\(\int_{0}^{\pi} sin(x) \ dx - \int_{0}^{\pi}sin(x)cos(x) \ dx = 2-0=2\)