Mostre que lim (x,y) tende a zero xy²/x²+y⁴ não existe. Considere (x,y) = 0. Sugestão: mostre que dois caminhos diferentes de (x,y) tende (0,0)...?

Caminho 1: ao longo da reta \(y=x\)

Nesse caso, no lugar de x, substituímos por y, ou pode ser o contrário, então:

\[\mathop {\lim }\limits_{(x,y) \to (0,0)} = {{x{y^2}} \over {{x^2} + {y^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} = {{x.{x^2}} \over {{x^2} + {x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} = {{{x^3}} \over {{x^2} + {x^4}}}\]

Dividindo ambos os termos acima por \({{x^2}}\) temos:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} = {{{x^{}}} \over {{x^2} + 1}}\]

Substituindo valor de zero no limite acima, temos:

\[= {0 \over {0 + 1}} = {0 \over 1} = 0\]

Caminho 2: ao longo da parábola \({y^2}=x\)

Nesse caso, no lugar de \({y^2}\) substituímos por \({x}\) então:

\[\mathop {\lim }\limits_{(x,y) \to (0,0)} = {{x.{y^2}} \over {{x^2} + {y^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} = {{x.x} \over {{x^2} + {y^2}.{y^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} = {{{x^2}} \over {{x^2} + x.x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} = {{{x^2}} \over {{x^2} + {x^2}}}\]

Dividindo ambos os termos acima por \({{x^2}}\) temos:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} = {{{1^{}}} \over {1 + 1}} = {1 \over 2}\]

Nesse caso, não sobrou local pra substituir o valor do \(x\) então nesse caso o valor do limite é igual a própria constante que é igual a \({1 \over 2}\) Mediante os cálculos que foram feitos, foram encontradas duas respostas diferentes, a primeira igual a zero e a segunda igual a \({1 \over 2}\) Desse modo está provado que o limite da função não existe.