ATIVIDADE 3 - MATEMÁTICA - ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO DE SISTEMAS
Segundo diversos grupos ligados à saúde mundial, como a Fundação Oswaldo Cruz, a resistência a antibióticos é uma das maiores ameaças à saúde global. Bactérias resistentes à grande maioria dos fármacos, em especial, aos antibióticos disponíveis no mercado, são chamadas de “superbactérias”. As superbactérias contribuem diretamente para o aumento da mortalidade, tornando antibióticos ineficazes e dificultando o tratamento de infecções. Talvez a principal causa para o espalhamento das superbactérias resida no uso e na prescrição inadequada de antibióticos. Quando um tratamento não é feito corretamente, bactérias resistentes ao medicamento sobrevivem e podem se reproduzir rapidamente, gerando mais bactérias resistentes, as quais, por suas vezes, geram surtos de doenças que se mostram intratáveis. A reprodução bacteriana pode ser expressa matematicamente por uma função exponencial: sendo
N0
o número de células inicial em uma amostra bacteriana ,
r
a taxa intrínseca de crescimento celular, a quantidade de células
Nt
após a passagem de
t
o horas será dada por:
Nt=N0ert
.
Para termos noção da velocidade com que os microrganismos podem se reproduzir, considere um cultivo de Escherichia coli, uma bactéria muito comum e conhecida por causar diarréia e infecções urinárias. Uma célula dessa bactéria gera outra célula em apenas 30 minutos. Logo, qual será a taxa intrínseca de crescimento da Escherichia coli?
Em seguida, considere um cultivo dessa mesma bactéria, iniciado com 10 células. Se elas forem deixadas para se reproduzirem durante cinco horas, quantas células são esperadasr? Construa uma tabela, indicando a quantidade de células presentes de meia em meia hora, e o gráfico desse crescimento. Finalmente, espera-se que, após esse tempo, 3% das células obtidas sejam mutantes. Então, quantas bactérias mutantes são esperadas após as cinco horas?
💡 6 Respostas
Joaquim de Souza
A equação do número de bactérias em função do tempo é N = N0.e^(rt). De acordo com o enunciado, uma bactéria gera outra a cada 30 minutos, então considerando uma população inicial de uma bactéria, após meia hora teremos duas, então a taxa intrínseca de crescimento será dada por:
2 = 1.e^(r*0,5)
ln 2 = ln(e^(0,5r))
ln 2 = 0,5.r
r = (ln 2)/0,5
r = 1,3863
A equação fica N = N0.e^(1,3863t). Considerando agora 10 células iniciais, temos que durante as 5 primeiras horas, as quantidades são:
Tempo Quantidade
0 10
0,5 20
1 40
1,5 80
2 160
2,5 320
3 640
3,5 1280
4 2560
4,5 5120
5 10240
Se 3% serão mutantes, ao todo, temos que 10240*0,03 = 307 células serão mutantes.
Andre Smaira
\[Nt = N0e_{}^{rt}\]
onde o e é denominado de número de Euler e equivale a 2,71828.
No enunciado diz que a cada 30 minutos a célula se dividirá, então:
\[\eqalign{ & {t_0} = 1 \cr & {t_{0,5}} = 2 \cr & {t_1} = 4 }\]
Desse modo, após 1 hora de divisão estaremos com 4 células. Assim faremos a substituição na equação abaixo:
\[\eqalign{ & 4 = 1{e^{rx1}} \cr & r = \log (4) \cr & r = 0,602 }\]
onde o valor de r encontrado é a taxa intrínseca como vai se dar o crescimento das bactérias.
Para o cálculo do total de células depois de 5 horas, tendo 10 células no início, temos:
\[\eqalign{ & {N_5} = 10{e^{0,602x5}} \cr & {N_5} = 202,8 \cr & N5 = 203 }\]
Logo, após 5 horas se terá 203 células.
Como no enunciado 3% dessas células são mutantes, basta fazer regra de três, então:
\[\eqalign{ & 203 - 100\% \cr & x - 3\% \cr & x = 6 }\]
Logo, se esperam que 6 células sejam mutantes.
Israel Ataíde
A função exponencial que expressa a reprodução bacteriana é:
Nt = N₀.r^t
PRIMEIRA PARTE
"Uma célula dessa bactéria gera outra célula em apenas 30 minutos."
Então:
N₀ = 1
Nt = 2
t = 30 min ou 0,5 h
Substituindo na função, temos:
2 = 1.r^0,5
2 = 1.√r
1.√r = 2
√r = 2/1
√r = 2
r = 4
A taxa intrínseca de crescimento da Escherichia coli é 4.
SEGUNDA PARTE
O cultivo será iniciado com 10 bactérias, reproduzindo-se por 5 horas.
Então:
N₀ = 10
t = 5 h
Nt = ?
Substituindo na função, temos:
Nt = 10.4^5
Nt = 10.1024
Nt = 10240
Serão esperadas 10240 bactérias.
"Após esse tempo, 3% das células obtidas sejam mutantes"
Então, calcularemos quanto é 3% de 10240.
3 · 10240 = 3 · 102,40 = 307,2 bactérias
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