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Um políedro convexo possui apenas faces hexagonais e pentagonais,60 arestas e 40 vértices. Quantas faces pentagonais possui esse políedro?


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Devemos nos lembrar que a Relação de Euler garante que:


\[V - A + F = 2\]
onde:


  • \(V\) é o número de vértices;
  • \(A\) é o número de arestas; e
  • \(F\) é o número de faces.

Assim, teremos:


\[V - A + F = 2\]


\[40 - 60 + F = 2\]


\[-20 + F = 2\]


\[F = 2 + 20\]


\[F = 22\]

Portanto, possui \(22\) faces.

É importante, neste contexto, fazer uma criteriosa verificação das informações fornecidas pelo enunciado. Alguns detalhes, mesmo que possam parecer insignificantes, são muitas vezes os elementos a revelar a resposta da questão, evitando errar por descuido. Especificamente neste caso, é importante não apenas conhecer a equação, mas também a possibilidade de aplicá-la.

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K

Há mais de um mês

F = 4 + 4 = 8  (8 faces)

4 faces hexagonais, isto é, 4.6 = 24, pois cada hexágono tem 6 arestas.
4 faces triangulares, isto é, 4.3 = 12, pois cada triângulo tem 3 arestas.
Lembrando que que cada aresta está sendo contada duas vezes, pois, quando as faces se juntam, ela é contada como fazendo parte de uma face e da outra também, temos que o nº de arestas é a metade disso. Portanto, 
A = (24 + 12) / 2 = 36/2 = 18

Agora vamos substituir esses valores na fórmula  
V - A + F = 2
V - 18 + 8 = 2
V - 10 = 2 
V = 2 + 10 = 12

Portanto, o nº de vértices é 12 e o nº de arestas é 18.

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas