Determine a equação da elipse com centro na origem, foco sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontos A = (2, 2) e B = (2√3, 0).

\[{x^2 \over a^2}+{y^2\over b^2}=1\]

Agora, para calcular os valores das constantes positivas \(a\)e \(b\) serão substituídos os pontos \(A = (2, 2)\)e \(B = (2\sqrt{3}, 0)\)

1. Substituindo o ponto \(B = (2\sqrt{3}, 0)\) o valor de \(a\)é:

\[\eqalign{ {(2\sqrt{3})^2 \over a^2}+{0^2\over b^2}&=1 \\ {(2\sqrt{3})^2 \over a^2}&=1 \\ a^2&=(2\sqrt{3})^2 \\ a&=2\sqrt{3} \\ }\]

1. Substituindo o ponto \(A = (2, 2)\)e \(a=2\sqrt{3}\) o valor de \(b\)é:

\[\eqalign{ {(2)^2 \over (2\sqrt{3})^2}+{(2)^2\over b^2}&=1 \\ {4 \over 4\cdot 3}+{4\over b^2}&=1 \\ {1 \over 3}+{4\over b^2}&=1 \\ {4\over b^2}&=1-{1 \over 3} \\ {4\over b^2}&={2 \over 3} \\ 2b^2&=4\cdot 3 \\ b^2&={12 \over 2} \\ b&=\sqrt{6} \\ }\]

1. Substituindo os valores de \(a\)e \(b\) a equação geral da elipse fica da seguinte forma:

\[\eqalign{ {x^2 \over a^2}+{y^2\over b^2}&=1 \\ {x^2 \over (2\sqrt{3})^2}+{y^2\over (\sqrt{6})^2}&=1 \\ {x^2 \over 4\cdot 3}+{y^2\over 6}&=1 \\ {x^2 \over 12}+{y^2\over 6}&=1 \\ }\]

Concluindo, a equação da elipse com centro na origem, foco sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontos \(A = (2, 2)\)e \(B = (2\sqrt{3}, 0)\)é:

\[\boxed{{x^2 \over 12}+{y^2\over 6}=1}\]