calcular a área do triangulo de vértices A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3)

\[\overrightarrow {AB} = B - A = ( - 4 - ( - 1),1 - 0,1 - 2) = ( - 3,1, - 1)\]

\[\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - ( - 1),1 - 0,3 - 2) = (1,1,1)\]

Mediante isso, iremos fazer o produto vetorial entre ambos, que se é feito por determinante, então:

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\matrix{ i & j & k \cr { - 3} & 1 & { - 1} \cr 1 & 1 & 1 } } \right)\]

\[= 2j - 4k + 2i\]

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = (2, - 4,2)\]

Calculando a norma, temos:

\[\left\| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right\| = \sqrt {{2^{^2}} + {{( - 4)}^2} + {2^{^2}}} = \sqrt {24}\]

Para a área do triângulo, utilizaremos a fórmula a seguir:

\[A = {1 \over 2}\left\| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right\|\]

\[= {1 \over 2}\sqrt {24}\]

\[A = 2,449u.a\]

Logo,a área do triângulo é 2,449 u.a.