Determine o centro e o raio das seguintes esferas: a) x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 2z = 10; b) x2+y2 + z2 + 2y - 10z = 27;

Letra a)

\[\eqalign{ & {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 2z = 10 \cr & ({x^2} - 2x) + ({y^2} - 4y) + ({z^2} - 2z) = 10 }\]

Em seguida, escrevemos a equação da esfera para se fazer a comparação com a equação que se foi achada acima. A equação da esfera é dada por:

\[\eqalign{ & {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2} \cr & {x^2} - 2ax + {a^2} + {y^2} - 2by + {b^2} + {z^2} - 2cz + {c^2} = {r^2} \cr & ({x^2} - 2ax) + ({y^2} - 2by) + ({z^2} - 2cz) = {r^2} - {a^2} - {b^2} -{c^2} }\]

Fazendo a comparação da ultima equação encontrada e a equação acima, nota se que os coeficientes de x, y, e z determinam as coordenadas a, b e c do centro que é da esfera. Logo, temos:

\[\eqalign{ & - 2a = - 2 \to a = 1 \cr & - 2b = - 4 = b = 2 \cr & - 2c = - 2 = c = 1 }\]

Agora se fazendo a comparação dos termos do lado direito da igualdade, determinamos o raio da esfera, sendo assim :

\[\eqalign{ & {r^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} = 10 \cr & {r^2} = 10 + {1^2} + {2^2} + {1^2} \cr & r = 4 }\]

Como o raio é positivo, se descarta o valor negativo da raiz. Então as coordenadas do centro e o raio são iguais a C(1,2,1) e raio = 4.

Letra b)

\[\eqalign{ & {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2 y - 10z = 27 \cr & ({x^2} ) + ({y^2} + 2y) + ({z^2} - 10z) = 27 }\]

Utilizando o mesmo procedimento da letra anterior, temos:

\[\eqalign{ & {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2} \cr & {x^2} - 2ax + {a^2} + {y^2} - 2by + {b^2} + {z^2} - 2cz + {c^2} = {r^2} \cr & ({x^2} - 2ax) + ({y^2} - 2by) + ({z^2} - 2cz) = {r^2} - {a^2} - {b^2} -{c^2} }\]

\[\eqalign{ & - 2a = 0 \to a = 0 \cr & - 2b = 2 = b = 1 \cr & - 2c = - 10 = c = 5 }\]

E em seguida, determinamos o raio da esfera, então:

\[\eqalign{ & {r^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} = 10 \cr & {r^2} = 27 + {0^2} + {1^2} + {5^2} \cr & r = 7,28 }\]

Logo, as coordenadas do centro e do raio são \(C(0,1,5)\)e \(raio = 7,28\).

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