estou com duvida nessa pergunta,

\[\boxed{y=x^2+2x}\]

a)

Para encontrar a reta tangente no ponto especificado(a) deve-se encontra o valor da inclinação da reta tangente por meio do seguinte limite:

\[\boxed{m=\lim_{h->0}{\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}}\]

Mas, antes é necessário encontrar o valor da função no ponto, ou seja, \(f(3)\) para facilitar o calculo do limite apresentado:

\[f(3)=3^2+2.3\]

\[\boxed{f(3)=15}\]

Resolvendo o limite:

\[m=\lim_{h->0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\]

\[m=\lim_{h->0}\dfrac{(3+h)^2+2.(3+h)-15}{h}\]

\[m=\lim_{h->0}\dfrac{9+6h+h^2+6+2h-15}{h}\]

\[m=\lim_{h->0}\dfrac{h^2+8h}{h}\]

\[m=\lim_{h->0}h+8\]

\[\boxed{m=8}\]

Com o valor da inclinação da reta tangente, substitui-se esse valor e o ponto especifico em uma equação de primeiro grau:

\[\boxed{f(x)=m.x+b}\]

\[f(3)=8.3+b\]

\[15=24+b\]

\[\boxed{b=-9}\]

Assim, a equação da reta tangente é:

\[\boxed{f(x)=8x-9}\]

b)

Para verificar se há críticos, deve-se encontrar a primeira derivada e a segunda derivada da função:

\[\boxed{y'=2x+2}\]

\[\boxed{y''=2}\]

A segunda derivada é positiva em qualquer ponto e, nesse caso a função terá um ponto crítico no ponto onde a primeira derivada é igual a zero e esse ponto será um mínimo local.

\[y'=0=2x+2\]

\[\boxed{x=-1}\]

Ou seja, no ponto x=-1 tem um ponto crítico e é em um mínimo local. Substituindo essa abscissa na função original obtém-se:

\[f(-1)=(-1)^2+2.(-1)\]

\[\boxed{f(-1)=-1}\]

Assim, as coordenadas do ponto crítico são:

\[\boxed{{Ponto\ crítico}\ (-1,-1)}\]