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estou com duvida nessa pergunta,

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dada a função y=x2+2.x, determine o que esta sendo pedido nos itens a seguir

a) Encontre a equação da reta tangente ao grafico da função no ponto de abscissa 3

b) verifique se ha criticos e indique as coordenadas (x,y)deste ponto

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1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Dada a função:


\[\boxed{y=x^2+2x}\]

a)

Para encontrar a reta tangente no ponto especificado(a) deve-se encontra o valor da inclinação da reta tangente por meio do seguinte limite:


\[\boxed{m=\lim_{h->0}{\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}}\]

Mas, antes é necessário encontrar o valor da função no ponto, ou seja, \(f(3)\) para facilitar o calculo do limite apresentado:


\[f(3)=3^2+2.3\]


\[\boxed{f(3)=15}\]

Resolvendo o limite:


\[m=\lim_{h->0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\]


\[m=\lim_{h->0}\dfrac{(3+h)^2+2.(3+h)-15}{h}\]


\[m=\lim_{h->0}\dfrac{9+6h+h^2+6+2h-15}{h}\]


\[m=\lim_{h->0}\dfrac{h^2+8h}{h}\]


\[m=\lim_{h->0}h+8\]


\[\boxed{m=8}\]

Com o valor da inclinação da reta tangente, substitui-se esse valor e o ponto especifico em uma equação de primeiro grau:


\[\boxed{f(x)=m.x+b}\]


\[f(3)=8.3+b\]


\[15=24+b\]


\[\boxed{b=-9}\]

Assim, a equação da reta tangente é:


\[\boxed{f(x)=8x-9}\]

b)

Para verificar se há críticos, deve-se encontrar a primeira derivada e a segunda derivada da função:


\[\boxed{y'=2x+2}\]


\[\boxed{y''=2}\]

A segunda derivada é positiva em qualquer ponto e, nesse caso a função terá um ponto crítico no ponto onde a primeira derivada é igual a zero e esse ponto será um mínimo local.


\[y'=0=2x+2\]


\[\boxed{x=-1}\]

Ou seja, no ponto x=-1 tem um ponto crítico e é em um mínimo local. Substituindo essa abscissa na função original obtém-se:


\[f(-1)=(-1)^2+2.(-1)\]


\[\boxed{f(-1)=-1}\]

Assim, as coordenadas do ponto crítico são:


\[\boxed{{Ponto\ crítico}\ (-1,-1)}\]

Dada a função:


\[\boxed{y=x^2+2x}\]

a)

Para encontrar a reta tangente no ponto especificado(a) deve-se encontra o valor da inclinação da reta tangente por meio do seguinte limite:


\[\boxed{m=\lim_{h->0}{\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}}\]

Mas, antes é necessário encontrar o valor da função no ponto, ou seja, \(f(3)\) para facilitar o calculo do limite apresentado:


\[f(3)=3^2+2.3\]


\[\boxed{f(3)=15}\]

Resolvendo o limite:


\[m=\lim_{h->0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\]


\[m=\lim_{h->0}\dfrac{(3+h)^2+2.(3+h)-15}{h}\]


\[m=\lim_{h->0}\dfrac{9+6h+h^2+6+2h-15}{h}\]


\[m=\lim_{h->0}\dfrac{h^2+8h}{h}\]


\[m=\lim_{h->0}h+8\]


\[\boxed{m=8}\]

Com o valor da inclinação da reta tangente, substitui-se esse valor e o ponto especifico em uma equação de primeiro grau:


\[\boxed{f(x)=m.x+b}\]


\[f(3)=8.3+b\]


\[15=24+b\]


\[\boxed{b=-9}\]

Assim, a equação da reta tangente é:


\[\boxed{f(x)=8x-9}\]

b)

Para verificar se há críticos, deve-se encontrar a primeira derivada e a segunda derivada da função:


\[\boxed{y'=2x+2}\]


\[\boxed{y''=2}\]

A segunda derivada é positiva em qualquer ponto e, nesse caso a função terá um ponto crítico no ponto onde a primeira derivada é igual a zero e esse ponto será um mínimo local.


\[y'=0=2x+2\]


\[\boxed{x=-1}\]

Ou seja, no ponto x=-1 tem um ponto crítico e é em um mínimo local. Substituindo essa abscissa na função original obtém-se:


\[f(-1)=(-1)^2+2.(-1)\]


\[\boxed{f(-1)=-1}\]

Assim, as coordenadas do ponto crítico são:


\[\boxed{{Ponto\ crítico}\ (-1,-1)}\]

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas