Questão sobre Matemática Lógica e discreta logo abaixo.

Esse é um exemplo clássico de paradoxo de lógica proposicional.

• Um paradoxo ocorre quando uma condição dada como verdadeira ( nesse caso, um barbeiro numa cidade que barbeia as pessoas e apenas aquelas que não se barbeiam sozinhas ), leva a uma contradição inerente ao enunciado. 

Nesse caso ( e em muitos problemas de lógica/matemática é feito isso ) temos duas hipóteses pra testar, que mostram o paradoxo:

Suponha que o barbeiro pode se barbear, se ele pode se barbear, ele está barbeando alguém que se barbeia sozinho, só que no enunciado fala que ele só barbeia pessoas que não se barbeiam sozinhas, então ele não pode se barbear, aí o seu resultado entra em contradição com a sua hipótese.

Aí você pode testar o caso contrário, ele não pode se barbear, só que ele barbeia apenas as pessoas que não podem se barbear, logo ele pode se barbear.

Ambas provam a mesma coisa, pelos pressupostos do enunciado é impossível que esse barbeiro exista.