Mostre que toda esfera tem uma equação da forma x²+ y²+ z² + ax + by + cz + d=0(I) Dê exemplo de uma equação da forma cujo gráfico não é uma esfera.

Temos a equação inicial \(x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0\), que podemos reescrever, completando quadrados, como \(x^2+ax+\dfrac{a^2}4+y^2+by+\dfrac{b^2}4+z^2+cy+\dfrac{c^2}4=-d+\dfrac{a^2+b^2+c^2}4\).

Assim, escrevemos: \((x+\dfrac a2)^2+(y+\dfrac b2)^2+(z+\dfrac c2)^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2}4-d\).

Dessa forma, basta termos \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}4\gt d\) para que a equação seja uma esfera com centro \((-\dfrac a2,-\dfrac b2,-\dfrac c2)\) e raio \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}4-d\).

Porém, se \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}4\leq d\), o gráfico não será uma esfera.