Calcule as integrais, menos à 5!?

Existe um método para fazer integração por partes que facilita bastante:

Você deve ter ouvido do professor que na integração por partes temos a função que sabemos integrar e a função que sabemos derivar, e isso é o importante na hora de definir se uma integral deve ou não ser feita utilizando o método da integração por partes:

Vou aplicar o método na primera integral:

\(\int x sen(\frac{x}{2}) \ dx\);

Óbviamente há duas funções, e a função mais fácil de derivar é a função \(x\), então fazemos assim:
Montamos uma tabela com a função que vamos derivar e outra com a função que vamos integrar desse modo, inserindo sinais de + e - como na tabela:

Derivamos e integramos até que ou a derivada zere, ( oque é muito lindo), ou quando obtemos um loop, que é quando ficamos retornando ou entramos num ciclo (por exemplo quando derivamos e^x, ou sen)
 

Agora tudo o que precisamos fazer é multiplicar na diagonal observando que o sinal da coluna indica o sinal da derivada, isto é, na segunda coluna temos um sinal de menos, então a derivada fica -1; e por aí vai. Outra coisa, como temos um zero na tabela isso significa que já temos a integral feita, então podemos escrever:

\(\int x sen(\frac{x}{2}) \ dx = x\times(-2cos(\frac{x}{2}))-1\times(-4sen(\frac{x}{2})) \\ \int x sen(\frac{x}{2}) \ dx = 4sen(\frac{x}{2}) -2xcos(\frac{x}{2}) + C \)

Aí temos a resposta para a primeira integral;

INTEGRAL 2

\(\int t^2 cos(t) \ dt\)

Novamente, vamos escolher \(t^2\) para derivar por que assim vamos chegar em um ponto em que a derivada zera;

Vamos montar a tabela:
 

Multiplicamos na diagonal, lembrando do sinal da coluna na hora de fazer as contas:
 

\(\int t^2cos(t) \ dt =t^2sent(t)-2t\times(-cos(t))+2\times(-sen(t)) \\ \int t^2cos(t) \ dt = t^2sen(t)+2tcos(t)-2sen(t) \\ \int t^2cos(t) \ dt = (t^2-2) sen(t) + 2tcos(t) + C\)

INTEGRAL 3

\(\int_1^2 xln(x) \ dx\)

Aqui tem um problema; quando escolhemos x para derivar porque assim iríamos chegar à um zero na tabela temos que, automaticamente, escolher ln para integrar, mas a integral de ln é feita utilizando a integração por partes, então temos que contornar o problema; por isso vamos escolher derivar LN e integrar X; aí chegamos à segunda parte do método da tabela de integração por partes:
 

Observe que a tabela nunca chega em um zero; então fazemos assim; multiplicamos uma vez na diagonal (B2 vezes C3); e integramos a linha seguinte multiplicando os valores na horizontal (B3 vezes C3), então temos: (sempre respeitando o sinal da linha).

\(\int xln(x) \ dx = ln(x)\times \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \times \frac{x^2}{2} \ dx \\ \int xln(x) \ dx = \frac{x^2}{2}ln(x)-\int \frac{x}{2} \ dx \\ \int xln(x) \ dx = \frac{x^2}{2}ln(x)-\frac{x^2}{4} \\ \int xln(x) \ dx = \frac{x^2}{4}(2ln(x)-1) + C \)

Veja que você pode fazer o mesmo processo indefinidamente; multiplica na diagonal quantas vezes quiser, lembrando de na última ter uma integral com a multiplicação na horizontal; Mas geralmente é bom fazer só com as do comecinho.

Ah, como era uma integral definida, mas isso é fácil, então você faz.;

INTEGRAL 4

\(\int tg^{-1}(y) \ dy\)

O chute é bem óbvio; TEMOS que derivar esse arcotangente horroroso aí; sobra integrar 1 dy.

Aqui a gente tem o mesmo problema que a anterior; o negócio nunca vai zerar, então fazemos o de praxe; multiplicamos uma vez na diagonal e outra na horizontal:

\(\int tg^{-1}(y) \ dy = tg^{-1}(y)\times y - \int (\frac{1}{1+y^2} \times y) \ dy ) \\ \int tg^{-1}(y) \ dy =y \ tg^{-1}(y) - \frac{1}{2}ln(1+y^2) + C\)

A integral \(\int \frac{y}{1+y^2} \ dy\) fica de exercício pra você fazer kkkk

As demais é só seguir o mesmo princípio; escolhe uma pra derivar e vai fazendo!