Matrizes: 1.- Dadas as matrizes A, B, 3x3 a seguir
; ;
Calcule
Mostre por indução que An =
2.- Sendo . Calcule A2 , A3 , o que deve ser An ?.
c) Sendo e calcule A2 . Se A fosse simétrica ainda valeria o resultado.
Calcule ainda, B2 , B3, em gera que pode-se concluir.
d= λa + ηb, se:
i) a= 420, b= 66; ii) a= 89, b= 55; iii) a= 750, b = 105, iv) a =116, b= 84. v) a=100, b=36.
2.- Prove a fórmula de Pascal, para 1 k n-1, nCk = n-1Ck-1 + n-1Ck
3.- Use o teorema binomial e expanda a expressão a seguir
i) ( 2x – 3)4 , ii) ( 2 – x/3)4 , iii) ( 2x – )4 , iv) ( x +)4
4.- Encontrar a parcela indicada na expansão binomial
i) o coeficiente do quinto monômio de ( 2x – 3)7
ii) o termo constante de ( x +)6 e de ( x – )8 , iii) desenvolver ( 1 +)4
5.- Considere o conjunto A={ 1, 2, 3, ....400}.
i) Quantos números não são quadrados perfeitos, ii) quantos não são múltipos de 4.
iii) quantos não são quadrados perfeitos nem múltiplos de 4.
7.- Encontre o número de permutações simples da palavra LOVE.
nas quais L esta em 1º lugar ou O está em 2º lugar .
Sugestão faça A1 ={ permutações em que L esta em 1º lugar}, A2 = etc, usar o principio de inclusão e exclusão.
12.- Encontrar o numero de soluções, em inteiros positivos de X1 + X2 + X3 = 25, com X1 4 , X2 6, X3 5.
13.- Encontrar o numero de soluções de X1 + X2 + X3 = 1, em inteiros entre -2 e 2 inclusive.
14.- Encontrar o numero de soluções de X1 + X2 + X3 = 1, em inteiros entre -3 e 3 inclusive.
[A] é relacionado ao principio da casa dos pombos.
1.- a.- dados 3 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível por 2.
b.- dados 4 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível por 3.
2.- Mostre que num quadrado de lado 2, ao considerar 5 pontos quaisquer existem pelo menos dois pontos que cuja distancia é menor ou igual a .
3.- Numa festa de aniversario com 61 crianças pelo menos 6 nasceram o mesmo mês
4.- Mostre que em qualquer grupo de
a.- 30 pessoas pelo menos 5 nasceram no mesmo dia da semana
b.- 50 pessoas pelo menos 8 nasceram no mesmo dia da semana
a.- 20 pessoas pelo menos 3 nasceram no mesmo dia da semana.
5.- a.- dados 3 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível por 2.
b.- dados 4 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível por 3. c.- dados 6 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível por 5.
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