Segunda List a de Exercícios de Matemática Discreta

Matrizes: 1.-  Dadas as matrizes A, B, 3x3 a seguir

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              Calcule

1. A+ B, i 2A - 3B, iii) AB e  BA, iv) (AB)t  , Bt At ,  v) ½ ( A + At), v ½ ( A - At)

 

1. Dada a matriz  A= .

 

 Mostre por indução que An     =

2.-  Sendo  . Calcule A2  , A3  , o que deve ser An ?.

c) Sendo   e   calcule A2 . Se A fosse simétrica ainda valeria o resultado.

Calcule ainda,   B2 , B3, em gera que pode-se concluir.

 

1.   1.- Usando algoritmo de Euclides calcule o MDC(a,b) = d ,   e  expressar na forma de Bezout, ie,

d= λa + ηb, se:

 

i) a= 420, b= 66;  ii) a= 89, b= 55; iii) a= 750, b = 105, iv) a =116, b= 84.  v)  a=100, b=36.

 

2.- Prove a fórmula de Pascal, para 1  k  n-1,   nCk     =   n-1Ck-1  +  n-1Ck

 

 

3.- Use o teorema binomial  e expanda a expressão a seguir

  i) ( 2x – 3)4   ,  ii)  ( 2 – x/3)4   ,   iii)  ( 2x – )4   ,  iv)  ( x +)4

 

4.- Encontrar a parcela indicada na  expansão binomial

    i) o coeficiente do quinto  monômio de  ( 2x – 3)7  

    ii)  o termo constante de  ( x +)6    e de  ( x – )8      ,   iii) desenvolver ( 1 +)4  

5.- Considere o conjunto A={ 1, 2, 3, ....400}.

i) Quantos números não são quadrados perfeitos, ii)    quantos não são múltipos de 4.

iii) quantos não são quadrados perfeitos nem múltiplos de 4.

 

7.-  Encontre o número de permutações simples  da palavra LOVE.

    nas quais L esta em 1º  lugar ou O está em 2º lugar .

  Sugestão faça A1 ={ permutações em que L esta em 1º lugar}, A2 = etc, usar o principio de inclusão e exclusão.

 

12.- Encontrar o numero de soluções, em inteiros positivos de X1  + X2  + X3 = 25, com X1   4 , X2   6,  X3  5.

 

13.- Encontrar o numero de soluções de  X1  + X2  + X3 = 1, em inteiros entre -2 e 2 inclusive.

 

14.- Encontrar o numero de soluções de  X1  + X2  + X3 = 1, em inteiros entre -3 e 3 inclusive.

                                                                                                

 

 

 

 [A] é relacionado ao principio da casa dos pombos.

  1.-  a.-  dados 3  ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível por 2.

       b.- dados 4  ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível por 3.

2.- Mostre que  num quadrado de lado 2, ao considerar  5 pontos quaisquer  existem pelo menos dois pontos que  cuja distancia é menor ou igual a .

    3.-  Numa festa de aniversario  com   61 crianças pelo menos 6 nasceram o mesmo mês

4.- Mostre que em qualquer grupo de

a.- 30 pessoas pelo menos 5 nasceram no mesmo dia da semana

b.- 50 pessoas pelo menos 8 nasceram no mesmo dia da semana

a.- 20 pessoas pelo menos 3 nasceram no mesmo dia da semana.

 

5.-  a.-  dados 3  ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível por 2.     

  b.- dados 4  ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível por 3.        c.- dados 6  ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível por 5.