A maior rede de estudos do Brasil

Considere o gráfico das funções: f(x)=2logx e g(x)=log2x. A respeito do gráfico de f e g, eles se interceptam? Se sim, em quantos pontos?

MatemáticaColegio Anchieta

4 resposta(s)

User badge image

Estudante

Há mais de um mês

Se existe pontos em que as duas curvas se intercptam, esses pontos devem fornecer a mesma imagem, ou seja, as funções devem ter o mesmo valor nesses pontos. Assim, igualamos as duas funções e vemos se existe algum $x$ que satisfaz a igualdade:

$$f(x)=g(x)\Rightarrow 2\log x=\log {2x}$$

Usando a propriedade dos logaritmos $a\cdot\log b=\log {b^a}$ podemos escrever:

$$\log{x^2}=\log{2x}$$

Tirando a exponencial dos dois lados e lembrando que o logaritmo e a exponencial são funções inversas, tem-se:

$$x^2=2x\Rightarrow x^2-2x=0$$
$$\Rightarrow x\, (x-2)=0 \Leftrightarrow x=2\, \textrm{ou}\, x=0$$

Como a função logarítmica nos reais só é definida para números positivos, concluímos que a abscissa do ponto de intersecção das curvas $f$ e $g$ é $x=2$. Para acharmos a ordenada $y$ do ponto, substituímos em uma das funções (as duas devem dar o mesmo resultado, já que esse é o ponto de intersecção).

$$f(2)=2\log 2=g(2)=\log{2\cdot 2}=1,39$$

Portanto, o ponto de intersecção é $A(2;1,39)$.
Se existe pontos em que as duas curvas se intercptam, esses pontos devem fornecer a mesma imagem, ou seja, as funções devem ter o mesmo valor nesses pontos. Assim, igualamos as duas funções e vemos se existe algum $x$ que satisfaz a igualdade:

$$f(x)=g(x)\Rightarrow 2\log x=\log {2x}$$

Usando a propriedade dos logaritmos $a\cdot\log b=\log {b^a}$ podemos escrever:

$$\log{x^2}=\log{2x}$$

Tirando a exponencial dos dois lados e lembrando que o logaritmo e a exponencial são funções inversas, tem-se:

$$x^2=2x\Rightarrow x^2-2x=0$$
$$\Rightarrow x\, (x-2)=0 \Leftrightarrow x=2\, \textrm{ou}\, x=0$$

Como a função logarítmica nos reais só é definida para números positivos, concluímos que a abscissa do ponto de intersecção das curvas $f$ e $g$ é $x=2$. Para acharmos a ordenada $y$ do ponto, substituímos em uma das funções (as duas devem dar o mesmo resultado, já que esse é o ponto de intersecção).

$$f(2)=2\log 2=g(2)=\log{2\cdot 2}=1,39$$

Portanto, o ponto de intersecção é $A(2;1,39)$.
User badge image

Estudante

Há mais de um mês

Se você quiser ver graficamente, basta jogar no Google: plot 2log x, log 2x que aparecerá um gráfico dinâmico e então você vai perceber que a solução acima é vista graficamente.
User badge image

Estudante

Há mais de um mês

Se existe pontos em que as duas curvas se intercptam, esses pontos devem fornecer a mesma imagem, ou seja, as funções devem ter o mesmo valor nesses pontos. Assim, igualamos as duas funções e vemos se existe algum xx que satisfaz a igualdade:

f(x)=g(x)⇒2logx=log2xf(x)=g(x)⇒2log⁡x=log⁡2x



Usando a propriedade dos logaritmos a⋅logb=logbaa⋅log⁡b=log⁡ba podemos escrever:

logx2=log2xlog⁡x2=log⁡2x



Tirando a exponencial dos dois lados e lembrando que o logaritmo e a exponencial são funções inversas, tem-se:

x2=2x⇒x2−2x=0x2=2x⇒x2−2x=0


⇒x(x−2)=0⇔x=2oux=0⇒x(x−2)=0⇔x=2oux=0



Como a função logarítmica nos reais só é definida para números positivos, concluímos que a abscissa do ponto de intersecção das curvas ff e gg é x=2x=2. Para acharmos a ordenada yy do ponto, substituímos em uma das funções (as duas devem dar o mesmo resultado, já que esse é o ponto de intersecção).

f(2)=2log2=g(2)=log2⋅2=1,39f(2)=2log⁡2=g(2)=log⁡2⋅2=1,39



Portanto, o ponto de intersecção é A(2;1,39)A(2;1,39).

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos estudantes