Como resolvo essa questão de derivadas parciais?
A areia está vazando por um buraco em um recipiente à taxa de 6 cm³ /min. Ao vazar, a areia vai formando uma pilha em forma de um cone circular reto cujo raio da base aumenta à razão de ¼ cm/min. Se, no instante em que já vazaram 40 cm³ , o raio é 5 centímetros , determine a taxa de aumento da altura da pilha.
💡 2 Respostas
Jhon
$$V(r,h)=\dfrac{\pi\, r^2\, h}{3}$$
Agora ache a taxa de variação do volume no tempo:
$$\dfrac{\partial V}{\partial t}=\dfrac{\pi}{3}\left( 2rh \dfrac{dr}{dt}+r^2\dfrac{dh}{dt} \right)$$
Onde usei a regra da cadeia e do produto. Queremos encontrar $dh/dt$, para tanto, quando o volume do cone for $40\, cm^3$, a altura será:
$$40=\dfrac{\pi \, 5^2\, h}{3}\Rightarrow h=\dfrac{24}{5\pi}\, cm$$
Agora, de posse dos outros dados no enunciado do problema, temos:
$$6=\dfrac{\pi}{3}\left( 2\cdot 5 \cdot\dfrac{24}{5\pi} \dfrac{1}{4}+5^2\dfrac{dh}{dt} \right)$$
Isole e encontre:
$$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{6}{25\pi}\dfrac{cm}{min}$$
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