Seja R uma região limitada pelo eixo y, pela reta y=1 e pela curva y= xˆ3 . Determine volume do sólido gerado pela rotação de R em torno da reta y=1?

Se a região R é limitada pelas funções y = 1 e y = x^3, o valor correspondente de x é:

-> x^3 = 1

-> x = 1

Se a região R também é limitada pelo eixo y, tem-se x = 0. Então, os limites de x são:

-> 0 ≤ x ≤ 1

Considerando o eixo de rotação Ly = 1, o volume V correspondente à curva y = f(x) = x^3 é:

-> V = π ∫ [ Ly - f(x) ]^2 dx

-> V = π ∫ [ 1 - x^3 ]^2 dx

-> V = π ∫ [ 1 - 2x^3 + x^6 ] dx

-> V = π [ x - 2x^4/4 + x^7/7 ]

-> V = π [ 1 - 2*1^4/4 + 1^7/7 ] - π [ 0 - 2*0^4/4 + 0^7/7 ]

-> V = π [ 1 - 1/2 + 1/7 ] - π [ 0 ]

-> V = π [ 1/2 + 1/7 ]

-> V = π [ 7/14 + 2/14 ]

-> V = 9π/14

Considerando o eixo de rotação Ly = 1, o volume V correspondente à curva y = f(x) = 1 é zero. Portanto, o volume do sólido é:

-> V = 9π/14

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