Explique a derivada de e^x.

Para demonstrar a derivada de , consideraremos que pode-se reescrever os limites da equação (3) de maneira que,

sem prejuízo algum ao resultado, a expressão para a definição do número de Euler, (3), também poderá ser dada por

(4)

Considerando-se a definição para a derivada, dada por

(5)

e fazendo uso desta definição para escrever a derivada para função exponencial natural

Neste instante, devemos levar em conta uma série manobras algébricas para simplificar esta expressão, como uma primeira abordagem, coloca-se o termo em evidência,

(6)

lembrando-se de que esta manobra é possível devido à regra do produto de potências de mesma base, e também porque estamos tomando o limite em relação à .

Ante à equação (6), faz-se-á necessário uma mudança de variável considerando que por consequência torna , em que é o logaritmo natural ou logaritmo na base , permitindo assim reescrever a expressão do limite em função de ,

a saída algebrica é passar a variável do numerador para denominador escrevendo seu inverso

o inverso de pode agora ser passado para o expoente do argumento do logaritmo,

(7)

além de mais compacta, deve-se confrontar aqui a equação (7) com a definição para o número de Euler dada em (4), consequentemente obtendo-se

Dessa forma, podemos afirmar que derivada da função exponencial natural, , é dada por ela mesma,

(8)

e^x

d/dx(a^~x) é a^x ln(a) quando a=e