Calcule o valor da expressão E = 4i^45 - 5i^66 + 6i^75 - 7i^84 ? Me ajudem por favor

Olá,

Para resolver esta expressão, podemos utilizar o algoritmo da divisão como auxiliar. Note que i¹=1, i²=-1, i³=-i e i4=1.

No algoritmo da divisão, teremos algo da forma a=4*b+r (a é o número da potência de i e r é o resto da divisão).

Tu podes estar se perguntando, por qual razão estou fazendo tudo isso?

A resposta é simples: na divisão por 4, teremos 4 possibilidades de resto: 0, 1, 2 ou 3.

Por exemplo: 44=11*4.

Com isso em mente, observe que quando o número imaginário i é elevado a alguma potência múltipla de 4, terá como resposta o número 1. Logo, no exemplo que coloquei (44), a potência i44 tem como resposta 1. O mesmo raciocínio vale para os outros casos, só que ao invés de ter resposta 1, terá como resposta o valor correspondente ao resto.

No exercício,

45 = 11*4+1 => i^45 = i^(11*4+1) = i^(11*4) * i¹ = 1*i = i

66 = 16*4+2 => i^66 = i^(16*4+2) = i^(16*4)*i² = 1*i² = -1

75 = 18*4+3 => i^75 = i^(18*4+3) = i^(18*4)*i³ = 1*i³ = -i

84 = 21*4+0 => i^84 = i^(21*4) = 1

Assim, E= 4*i^45-5*i^66+6*i^75-7*i^84 => E = 4*i - 5*(-1) + 6*(-i) - 7*1 => E = 4i + 5 - 6i - 7 => E = -2 -2i.

Até.