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Cálculo Diferencial e Integral (Problema) "Questão da Faculdade"

O cálculo diferencial e integral tem papel importante em várias áreas, tais como biologia, economia, engenharia entre outras. O estudo de cálculo de funções de uma variável, de forma geral, é iniciado com funções e tem prosseguimento em limites, derivadas e integrais. Dentre esses assuntos podemos citar a derivada. Uma interessante aplicação da derivada é a análise de tendências da função, o resultado desta derivada está ligado a declividade da reta "tangente ao ponto". Isso permite que possamos analisar e maximizar/minimizar problemas. Para o nosso MAPA propomos a seguinte situação:

Marter é um morador de uma região do Brasil. Em sua propriedade a casa onde mora fica as margens de um rio. Por questão de logística, dentro da propriedade pretende construir um celeiro retangular com 80 metros de perímetro. Este celeiro deverá ficar na margem oposta, a 2000 metros rio abaixo. 

Foto: Pixabay 1589616


a) Determine as dimensões do celeiro para que sua área seja máxima.

b) Marter têm todos os materiais para a construção de celeiro com área máxima, exceto os tijolos de 6 furos, que pretende utilizar. Em média, para cada metro quadrado de parede fechada, usa-se 35 unidades do tijolo. Determine a quantidade de tijolos, aproximadamente, que ele irá usar para fechar as paredes do celeiro. Uma informação importante é que as paredes terão 4 metros de altura, o celeiro terá uma janela retangular de dimensões 2m por 1,5m e ainda uma porta, também retangular de 4m por 2,5m. (Desconsidere as colunas e toda a parte de concreto usada)

c) Faça um orçamento para saber o valor que o Marter irá gastar com esses tijolos (pode ser pela internet ou loja física, mas o orçamento deve estar em anexo ao template do MAPA). É recomendável comprar 10% a mais de material devido as percas.

d) Silver, o único pedreiro da região onde Marter mora, cobra R$ 150,00 o metro quadrado de mão de obra para a construção do celeiro. Como ele irá construir o celeiro de área máxima, qual será o valor da mão de obra se for contratar Silver?

e) Marter irá levar energia elétrica ao celeiro. Ele pretende estender um cabo de força da casa ao celeiro, à margem do rio, que tem 40 metros de largura. O cabo, em algum momento deverá atravessar o rio, suspenso por postes de madeira, que ele tem de forma abundante na propriedade. O eletricista cobra 10% a mais na mão de obra para “passar” o cabo por cima do rio, considerando o preço que ele cobra em terra. Se o eletricista cobra, de mão de obra, R$ 10,00 o metro instalado em terra, determine o custo mínimo que Master pode ter para levar a energia da sua casa ao celeiro. Para isso, fazer um orçamento no modelo do item (c). Ele irá usar fiação de 10mm flexível*. Desconsiderar as percas nesse caso. (*Em termos de energia esse cabo não é recomendado para esse serviço, mas como é fácil de encontrar, usarmos ele para o MAPA.).

Cálculo I

UniCesumar


1 resposta(s)

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Esocial 2018

Há mais de um mês

a) Sendo x e y as dimensões do celeiro, e seu perímetro P igual a 80m, temos que:

P=80 →2x + 2y = 80 → x+y =

40 → y = 40 –x

Por ser um celeiro retangular, sua área A será dada por

A = xy → A = x  (40-x) → A = 40x – x²

Para descobrir o valor de x que torna a área máxima, aplicaremos a derivada de A em relação a x:

 = 40 – 2x

Para definir um x=c que é o ponto crítico da função, devemos achar um ponto onde a deriva é igual a 0 ou não existe

Assim temos que

40 – 2x = 0 → x = 20

Logo, como a função da área é do segundo grau com a concavidade voltada para baixo x=20 só pode ser o máximo absoluto.

Desta forma podemos encontrar y

Y= 40 – x → y = 40 – 20 → y = 20a) Sendo x e y as dimensões do celeiro, e seu perímetro P igual a 80m, temos que:

P=80 →2x + 2y = 80 → x+y =

40 → y = 40 –x

Por ser um celeiro retangular, sua área A será dada por

A = xy → A = x  (40-x) → A = 40x – x²

Para descobrir o valor de x que torna a área máxima, aplicaremos a derivada de A em relação a x:

 = 40 – 2x

Para definir um x=c que é o ponto crítico da função, devemos achar um ponto onde a deriva é igual a 0 ou não existe

Assim temos que

40 – 2x = 0 → x = 20

Logo, como a função da área é do segundo grau com a concavidade voltada para baixo x=20 só pode ser o máximo absoluto.

Desta forma podemos encontrar y

Y= 40 – x → y = 40 – 20 → y = 20

a) Sendo x e y as dimensões do celeiro, e seu perímetro P igual a 80m, temos que:

P=80 →2x + 2y = 80 → x+y =

40 → y = 40 –x

Por ser um celeiro retangular, sua área A será dada por

A = xy → A = x  (40-x) → A = 40x – x²

Para descobrir o valor de x que torna a área máxima, aplicaremos a derivada de A em relação a x:

 = 40 – 2x

Para definir um x=c que é o ponto crítico da função, devemos achar um ponto onde a deriva é igual a 0 ou não existe

Assim temos que

40 – 2x = 0 → x = 20

Logo, como a função da área é do segundo grau com a concavidade voltada para baixo x=20 só pode ser o máximo absoluto.

Desta forma podemos encontrar y

Y= 40 – x → y = 40 – 20 → y = 20a) Sendo x e y as dimensões do celeiro, e seu perímetro P igual a 80m, temos que:

P=80 →2x + 2y = 80 → x+y =

40 → y = 40 –x

Por ser um celeiro retangular, sua área A será dada por

A = xy → A = x  (40-x) → A = 40x – x²

Para descobrir o valor de x que torna a área máxima, aplicaremos a derivada de A em relação a x:

 = 40 – 2x

Para definir um x=c que é o ponto crítico da função, devemos achar um ponto onde a deriva é igual a 0 ou não existe

Assim temos que

40 – 2x = 0 → x = 20

Logo, como a função da área é do segundo grau com a concavidade voltada para baixo x=20 só pode ser o máximo absoluto.

Desta forma podemos encontrar y

Y= 40 – x → y = 40 – 20 → y = 20

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos estudantes