Qual é a distância entre o ponto P(2,3,-1) e a reta r: x=3+t , y=-2t , z=1-2t​​​​​​​?

Equação paramétrica da reta r:

{ x = 3 + t

{ y = -2t

{ z = 1 - 2t

Pelas equações, a reta r passa pelo ponto A(3, 0, 1) e possui vetor diretor v = (1, -2, -2).

Vetor da reta que passa por A(3, 0, 1) e P(2, 3, -1):

-> u = A - P

-> u = (3, 0, 1) - (2, 3, -1)

-> u = (1, -3, 2)

Produto vetorial u x v:

| i j k |

-> u x v = | 1 -3 2 |

| 1 -2 -2 |

-> u x v = (3*2 + 2*2)i + (2*1 + 1*2)j + (-1*2 + 3*1)k

-> u x v = (10)i + (4)j + (1)k

-> u x v = (10, 4, 1)

Portanto, a distância d entre o ponto P e a reta r é:

-> d = |u x v| / |v|

-> d = |(10, 4, 1)| / |(1, -2, -2)|

-> d = √(10^2 + 4^2 + 1^2) / √( 1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 )

-> d = √(100 + 16 + 1) / √( 1 +4 + 4 )

-> d = √(117) / √(9)

-> d = √(117)/3

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A distância entre ponto e reta é obtida pelo processo de projeção de vetores no espaço. Qual é a distância entre o ponto p(2,3,-1) e a reta r: x=3+t , y=-2t , z=1-2t?

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