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Um bem, cujo preço à vista é de R$ 500,00, será adquirido por meio de duas prestações mensais consecutivas de R$ 450,00, sendo a primeira delas paga

Administração Financeira

Colégio Bernoulli


3 resposta(s)

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Josiane Martinicorena

Há mais de um mês

 Tem-se que o preço à vista de um bem é R$ 500,00 e será adquirido por meio de duas prestações mensais e consecutivas de R$ 450,00, sendo a primeira paga após um mês e a segunda após 2 meses após a compra.

Pede-se: nessa venda qual será a taxa mensal de juros compostos envolvida na transação a prazo.


ii) Veja como é simples. Vamos trazer para o valor presente cada prestação de R$ 450,00 pelo fator (1+i)¹ = (1+i) para o 1ºmês e (1+i)² para o 2º mês. E as prestações assim trazidas para o valor presente deverão ser iguais ao valor à vista (R$ 500,00). Assim, teremos que:


500 = 450/(1+i) + 450/(1+i)² ----- mmc = (1+i)². Assim, utilizando-o apenas no 2º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):


500 = [(1+i)*450 + 1*450]/(1+i)² ---- desenvolvendo, teremos:

500 = [450*1+450*i + 450]/(1+i)² ---- continuando o desenvolvimento, temos:

500 = [450 + 450i + 450]/(1+i)² ---- reduzindo os termos semelhantes:

500 = [900 + 450i]/(1+i)² ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

(1+i)²*500 = 900 + 450i ---- desenvolvendo o quadrado,teremos:

(1+2i+i²)*500 = 900 + 450i ---- efetuando o produto indicado, temos:

500*1+500*2i+500*i² = 900 + 450i ---- desenvolvendo, temos:

500 + 1.000i + 500i² = 900 + 450i --- passando o 2º membro para o 1º:

500 +1.000i + 500i² - 900 - 450i = 0 --- reduzindo os termos semelhantes:

500i² + 550i - 400 = 0 ----- para facilitar, poderemos simplificar ambos os membros por "10",com o que ficaremos assim:


50i² + 55i - 40 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:


i' = - 1,60 <---- raiz descartada, pois a taxa de juros não é negativa.

i'' = 0,50 <--- raiz válida.


Assim, a taxa de juros envolvida na transação foi de:


0,50 ou 50% (após multiplicarmos "0,50" por "100") <--- Esta é a resposta.



Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver se isso é verdade mesmo. Ou seja, vamos ver se trazendo as duas prestações de R$ 450,00 para o valor presente utilizando-se a taxa de 50% (ou 0,50) iremos ter realmente o valor à vista (R$ 500,00). Vamos ver:


500 = 450/(1+0,50) + 450/(1+0,50)²

500 = 450/(1,50) + 450/(1,50)² ---- note que (1,50)² = 2,25. Logo:

500 = 450/1,50 + 450/2,25 ---- efetuando as divisões indicadas, teremos:

500 = 300 + 200

500 = 500 <--- Olha aí como é verdade mesmo.

 Tem-se que o preço à vista de um bem é R$ 500,00 e será adquirido por meio de duas prestações mensais e consecutivas de R$ 450,00, sendo a primeira paga após um mês e a segunda após 2 meses após a compra.

Pede-se: nessa venda qual será a taxa mensal de juros compostos envolvida na transação a prazo.


ii) Veja como é simples. Vamos trazer para o valor presente cada prestação de R$ 450,00 pelo fator (1+i)¹ = (1+i) para o 1ºmês e (1+i)² para o 2º mês. E as prestações assim trazidas para o valor presente deverão ser iguais ao valor à vista (R$ 500,00). Assim, teremos que:


500 = 450/(1+i) + 450/(1+i)² ----- mmc = (1+i)². Assim, utilizando-o apenas no 2º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):


500 = [(1+i)*450 + 1*450]/(1+i)² ---- desenvolvendo, teremos:

500 = [450*1+450*i + 450]/(1+i)² ---- continuando o desenvolvimento, temos:

500 = [450 + 450i + 450]/(1+i)² ---- reduzindo os termos semelhantes:

500 = [900 + 450i]/(1+i)² ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

(1+i)²*500 = 900 + 450i ---- desenvolvendo o quadrado,teremos:

(1+2i+i²)*500 = 900 + 450i ---- efetuando o produto indicado, temos:

500*1+500*2i+500*i² = 900 + 450i ---- desenvolvendo, temos:

500 + 1.000i + 500i² = 900 + 450i --- passando o 2º membro para o 1º:

500 +1.000i + 500i² - 900 - 450i = 0 --- reduzindo os termos semelhantes:

500i² + 550i - 400 = 0 ----- para facilitar, poderemos simplificar ambos os membros por "10",com o que ficaremos assim:


50i² + 55i - 40 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:


i' = - 1,60 <---- raiz descartada, pois a taxa de juros não é negativa.

i'' = 0,50 <--- raiz válida.


Assim, a taxa de juros envolvida na transação foi de:


0,50 ou 50% (após multiplicarmos "0,50" por "100") <--- Esta é a resposta.



Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver se isso é verdade mesmo. Ou seja, vamos ver se trazendo as duas prestações de R$ 450,00 para o valor presente utilizando-se a taxa de 50% (ou 0,50) iremos ter realmente o valor à vista (R$ 500,00). Vamos ver:


500 = 450/(1+0,50) + 450/(1+0,50)²

500 = 450/(1,50) + 450/(1,50)² ---- note que (1,50)² = 2,25. Logo:

500 = 450/1,50 + 450/2,25 ---- efetuando as divisões indicadas, teremos:

500 = 300 + 200

500 = 500 <--- Olha aí como é verdade mesmo.

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ROGERIO BARCELOS FRANCISCO

Há mais de um mês

500 = 450/u + 450/u² ==> *(u²) mmc

500u² -450u -450 = 0 ==> :(500)

u² - 0,9u - 0,9 = 0

∆ = (-0,9)² +4.1.(0,9) = 4,41 => √∆= 2,1

u = -b+√∆/2a= 0,9+2,1/2 = 3/2 =1,5

1+i = u

i = u -1

i = 1,5 -1 = 0,5 ==> 50% a.m

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Aline Fernanda Piva

Há mais de um mês

500 = 450/u + 450/u² ==> *(u²) mmc

500u² -450u -450 = 0 ==> :(500)

u² - 0,9u - 0,9 = 0

∆ = (-0,9)² +4.1.(0,9) = 4,41 => √∆= 2,1

u = -b+√∆/2a= 0,9+2,1/2 = 3/2 =1,5

1+i = u

i = u -1

i = 1,5 -1 = 0,5 ==> 50% a.m


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