Usando coordenadas esféricas, determine o volume do sólido delimitado superiormente pelo cone =

Coordenadas esféricas: x = ρ senφ cosθ, y = ρ senφ senθ, z = ρ cosφ. Então, tem-se:

{ x^2 + y^2 + z^2 = ρ^2

{ x^2 + y^2 = ρ^2*(senφ)^2

Sólido delimitado superiormente pelo cone z^2 = x^2 + y^2:

-> z =+ sqrt(x^2+y^2)

-> ρ cosφ = sqrt( ρ^2*(senφ)^2 )

-> ρ cosφ = ρ senφ

-> cosφ = senφ

-> tanφ = 1

-> φ = π/4

-> 0 ≤ φ ≤ π/4

Sólido delimitado inferiormente pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = z:

-> x^2 + y^2 + z^2 = z

-> ρ^2 = ρ cosφ

-> ρ = cosφ

-> 0 ≤ ρ ≤ cosφ

Integral volumétrica:

-> V = ∫∫∫ dV

-> V = ∫∫∫ |- ρ^2 senφ| dρ dφ dθ

-> V = ∫∫∫ ρ^2 senφ dρ dφ dθ

-> V = ∫∫ ( ρ^3/3 ) senφ dφ dθ

-> V = 1/3 ∫∫ ( ρ^3 ) senφ dφ dθ

-> V = 1/3 ∫∫ ( (cosφ)^3 - 0^3 ) senφ dφ dθ

-> V = 1/3 ∫∫ (cosφ)^3 senφ dφ dθ

Com u = cosφ, tem-se du = -senφ dφ. Substituindo:

-> V = 1/3 ∫∫ (cosφ)^3 senφ dφ dθ

-> V = - 1/3 ∫∫ (u)^3 du dθ

-> V = - 1/3 ∫ (u)^4/4 dθ

-> V = - 1/12 ∫ (cosφ)^4 dθ

-> V = - 1/12 ∫ [ (cosπ/4)^4 - (cos0)^4 ] dθ

-> V = - 1/12 ∫ [ (1/√2)^4 - (1)^4 ] dθ

-> V = - 1/12 ∫ [ 1/4 - 1 ] dθ

-> V = - 1/12 [ - 3/4 ] ∫ dθ

-> V = 3/48 (θ)

-> V = 1/16 (2π - 0)

-> V = 2π/16

-> V = π/8

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