1) Determine a solução das equações abaixo: a. 2xydx+(x²+3y²)dy=0 b. (6x²-y+3)dx+(3y²-x-2)dy=0

a. 2xy dx + (x^2 + 3y^2) dy = 0

Tem-se fx = 2xy e fy = x^2 + 3y^2. Integrando fx em x, a função f é:

-> f = ∫ fx dx

-> f = ∫ 2xy dx

-> f = x^2y + h(y), onde h(y) é uma função dependente unicamente de y.

Derivando f em y:

-> fy = df/dy

-> fy = d(x^2y + h(y))/dy

-> fy = x^2 + h'(y)

Igualando com fy = x^2 + 3y^2, h(y) é:

-> x^2 + h'(y) = x^2 + 3y^2

-> h'(y) = 3y^2

-> h(y) = ∫ 3y^2 dy

-> h(y) = y^3 + c, onde c é uma constante qualquer.

Portanto, a solução f é:

-> f = x^2y + h(y)

-> f = x^2y + y^3 + c

b. (6x^2 - y + 3) dx + (3y^2 - x - 2) dy = 0

Tem-se fx = 6x^2 - y + 3 e fy = 3y^2 - x - 2. Integrando fx em x, a função f é:

-> f = ∫ fx dx

-> f = ∫ (6x^2 - y + 3) dx

-> f = 6x^3/3 - xy + 3x + h(y)

-> f = 2x^3 - xy + 3x + h(y), onde h(y) é uma função dependente unicamente de y.

Derivando f em y:

-> fy = df/dy

-> fy = d(2x^3 - xy + 3x + h(y))/dy

-> fy = - x + h'(y)

Igualando com fy = 3y^2 - x - 2, h(y) é:

-> - x + h'(y) = 3y^2 - x - 2

-> h'(y) = 3y^2 - 2

-> h(y) = ∫ (3y^2 - 2) dy

-> h(y) = y^3 - 2y + c, onde c é uma constante qualquer.

Portanto, a solução f é:

-> f = 2x^3 - xy + 3x + h(y)

-> f = 2x^3 - xy + 3x + y^3 - 2y + c

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