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Aritmética e teoria dos numeros

O Teorema Chinês dos Restos é uma ferramenta muito útil na resolução de sistemas de congruências, que surgiu com o intuito de resolver alguns problemas relativos à astronomia. Determine qual o número x que deixa resto 3, 5 e 7, respectivamente, quando divididos por 5, 7, 11. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a menor solução possível:

a) x = 208.

b) x = 313.

c) x = 348.

d) x = 418.

💡 1 Resposta

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Para resolver esse problema utilizando o Teorema Chinês dos Restos, precisamos encontrar um número que deixe resto 3 quando dividido por 5, resto 5 quando dividido por 7 e resto 7 quando dividido por 11. Primeiro, vamos encontrar o valor de N, que é o produto dos divisores: N = 5 * 7 * 11 = 385. Agora, vamos calcular as constantes de Bezout para cada divisor: - Para 5, temos: 385 / 5 = 77. O inverso multiplicativo de 77 módulo 5 é 2, pois 77 * 2 ≡ 1 (mod 5). - Para 7, temos: 385 / 7 = 55. O inverso multiplicativo de 55 módulo 7 é 4, pois 55 * 4 ≡ 1 (mod 7). - Para 11, temos: 385 / 11 = 35. O inverso multiplicativo de 35 módulo 11 é 8, pois 35 * 8 ≡ 1 (mod 11). Agora, vamos calcular o valor de x utilizando o Teorema Chinês dos Restos: x = (3 * 77 * 2 + 5 * 55 * 4 + 7 * 35 * 8) % 385 x = (462 + 1100 + 1960) % 385 x = 3522 % 385 x = 208 Portanto, a alternativa correta é a letra a) x = 208.

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