O que é derivação implícita? Quando ela é necessária? Dê exemplos.

Quero saber como também essa resposta.

Todas as funções estudadas até agora foram dadas por equações da forma y = f(x), onde a variável dependente y é definida explicitamente por uma expressão envolvendo a variável independente x. Por exemplo, y = x 3 – 4x + 1 e y = 7x + x  6 Muitas funções, no entanto, são definidas implicitamente por uma equação que envolve tanto a variável independente como a variável dependente. Por exemplo: (1) xy = 3 e (2) 5 – x 2 + 4y3 = 7y Em alguns casos é possível resolver a equação e escrever a variável dependente na forma explícita. É o caso da equação (1) acima, onde y = x 3 . Mas não é fácil resolver a equação (2) e escrever y explícitamente em função de x.

A maioria das funções com as quais trabalhamos até agora foi da forma, em que y é dado diretamente, ou explicitamente , por meio de uma expressão definida em termos de x . No entanto na resolução de problemas práticos, frequentemente a relação entre y e x é determinada por uma equação da forma F( x , y ) = 0 que não está resolvida para y .

Pode ser que não exista nenhum ponto ( x , y ) do plano que satisfaça a equação F( x , y ) = 0. Neste caso, esta equação representa um conjunto vazio. Caso contrário, uma equação do tipo acima representa uma curva no plano que pode ser o gráfico de uma ou de várias funções da forma. Isto acontece porque uma equação em duas variáveis x e y pode ter uma ou mais soluções para y em termos de x , ou para x em termos de y . Dizemos, então, que estas soluções são funções definidas implicitamente pela equação F( x , y ) = 0.

Exemplos

Exemplo 1: Uma hipérbole equilátera pode ser representada pela equação como mostra o gráfico abaixo obtido usando-se o comando implicitplot do pacote plots .

> implicitplot(x*y=1,x=-5..5,y=-5..5);

Esta equação simples determina uma função implícita de x , que pode ser expressa explicitamente como .