As retas r, s e t tem equações x+y-3=0, 3x-2y+1=0 e kx+2y-5=0, respectivamente. Determine k para que as retas sejam concorrentes duas a duas.?

Retas:

. r: x + y - 3 = 0

. s: 3x - 2y + 1 = 0

. t: kx + 2y - 5 = 0

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1) Interseção de r (x + y - 3 = 0) e s (3x - 2y + 1 = 0):

De acordo com a equação da reta r, tem-se o seguinte:

-> x + y - 3 = 0

-> y = 3 - x

Substituindo y = 3 - x em 3x - 2y + 1 = 0 (reta s), o valor de x é:

-> 3x - 2y + 1 = 0

-> 3x - 2(3 - x) + 1 = 0

-> 3x - 6 + 2x + 1 = 0

-> 5x - 5 = 0

-> x - 1 = 0

-> x = 1

Portanto, o y correspondente é:

-> y = 3 - x

-> y = 3 - 1

-> y = 2

Portanto, as retas r e s se intercedem no ponto (x0, y0) = (1, 2).

Para as três retas serem concorrentes duas a duas, a reta t (de equação kx + 2y - 5 = 0) não pode passar pelo ponto (1, 2). Ou seja, deve-se atender à seguinte inequação:

-> kx0 + 2y0 - 5 ≠ 0

Portanto, tem-se o seguinte:

-> k*1 + 2*2 ≠ 5

-> k + 4 ≠ 5

-> k ≠ 1

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2) Paralelismo entre as retas:

O outro critério para as três retas serem concorrentes duas a duas é evitar que a reta t seja paralela às retas r e s.

Vetores diretores de cada reta:

. r: x + y - 3 = 0 -> { r = (rx, ry) = (1, 1)

. s: 3x - 2y + 1 = 0 -> { s = (sx, sy) = (3, -2)

. t: kx + 2y - 5 = 0 -> { t = (tx, ty) = (k, 2)

Para evitar que a reta t seja paralela às retas r e s, as seguintes inequações devem ser atendidas:

{ tx/rx ≠ ty/ry

{ tx/sx ≠ ty/sy

Substituindo os valores, tem-se o seguinte:

{ k/1 ≠ 2/1 -> { k ≠ 2

{ k/3 ≠ 2/-2 -> { k ≠ -3

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Concluindo, para as retas serem concorrentes duas a duas, os valores de k devem ser os números reais, exceto o -3, o 1 e o 2. Ou seja:

-> k = ℝ - {-3, 1, 2}

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