maximos e minimos da função f(x) = sen x + cos x, X E ( 0,pi)

Cálculo I

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IFBA

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3

0

6

Cláudio Jungmann

18/01/2021

💡 6 Respostas

MS GAMEPLAY

18.01.2021

245000

0

Ero L.H Migliore

18.01.2021

b

0

Ricardo Proba

18.01.2021

Tem-se a função f(x) = senx + cosx, x ∈ [0, π]. Portanto, sua primeira derivada é:

-> f'(x) = (senx + cosx)'

-> f'(x) = (senx)' + (cosx)'

-> f'(x) = cosx - senx

E sua segunda derivada é:

-> f''(x) = (cosx - senx)'

-> f''(x) = (cosx)' - (senx)'

-> f''(x) = - senx - cosx

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1) Ponto mínimo (x_min, y_min): f'(x_min) = 0 ; f''(x_min) > 0

2) Ponto máximo (x_max, y_max): f'(x_max) = 0 ; f''(x_max) < 0

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Portanto, os valores de x que satisfazem f'(x) = 0 é:

-> f'(x) = 0

-> cosx - senx = 0

-> senx = cosx

-> senx/cosx = 1

-> tgx = 1

Com x ∈ [0, π]:

-> x = π/4

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Como há apenas um valor de x que satisfaz f'(x) = 0, a função f(x) em x ∈ [0, π] possui ou um ponto de máximo ou um ponto de mínimo. Substituindo x = π/4 em f''(x):

-> f''(x) = - senx - cosx

-> f''(π/4) = - senπ/4 - cosπ/4

-> f''(π/4) = - √(2)/2 - √(2)/2

-> f''(π/4) = - √(2) < 0

Como f''(π/4) é menor do que zero, tem-se que o ponto correspondente a x = π/4 é um ponto de máximo.

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Substituindo x_max = π/4 em f(x), o valor de y_max é:

-> f(x_max) = senx_max + cosx_max

-> y_max = senπ/4 + cosπ/4

-> y_max = √(2)/2 + √(2)/2

-> y_max = √(2)

Portanto, a função f(x) possui um ponto de máximo igual a:

-> (x_max, ymax) = ( π/4, √(2) ).

Conforme dito antes, f(x) não possui ponto de mínimo em x ∈ [0, π].

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Se gostou, dá um joinha!

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