Prove que se vetor u é ortogonal a v - w e v é ortogonal a w - u então w é ortogonal a u - v .

Para provar que w é ortogonal a u - v, podemos usar a propriedade de que se dois vetores são ortogonais a um terceiro vetor, então eles são ortogonais entre si. Dado que u é ortogonal a v - w e v é ortogonal a w - u, podemos escrever as seguintes equações: u · (v - w) = 0 (Equação 1) v · (w - u) = 0 (Equação 2) Agora, vamos expandir essas equações: u · v - u · w = 0 (Equação 1) v · w - v · u = 0 (Equação 2) Reorganizando as equações, temos: u · v = u · w (Equação 3) v · w = v · u (Equação 4) Agora, vamos somar as Equações 3 e 4: (u · v) + (v · w) = (u · w) + (v · u) Simplificando, temos: 2(u · v) = 2(u · w) Dividindo ambos os lados por 2, obtemos: u · v = u · w Agora, vamos subtrair a Equação 3 da Equação 4: (v · w) - (u · v) = (v · u) - (u · w) Simplificando, temos: (v · w) - (u · v) = 0 Isso nos mostra que w é ortogonal a u - v, pois o produto escalar entre eles é igual a zero. Portanto, provamos que se u é ortogonal a v - w e v é ortogonal a w - u, então w é ortogonal a u - v.