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4. Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. dy/dx =y/x +x/y

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Para resolver essa equação diferencial, podemos fazer uma substituição apropriada. Vamos fazer a substituição y = vx. Primeiro, vamos calcular as derivadas em relação a x usando a regra do produto: dy/dx = v + x * dv/dx Agora, substituímos essas derivadas na equação diferencial original: v + x * dv/dx = (vx) / x + x / (vx) Simplificando a expressão, temos: v + x * dv/dx = v + 1/v Agora, vamos isolar a variável v e a variável x em lados opostos da equação: x * dv/dx = 1/v Multiplicando ambos os lados por dx e v, temos: v * dv = dx Integrando ambos os lados da equação, obtemos: ∫v dv = ∫dx (v^2) / 2 = x + C Agora, substituímos a substituição original y = vx: (y^2) / (2x^2) = x + C Essa é a solução geral da equação diferencial dada, onde C é uma constante arbitrária.

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