Problema de Otimização Determine as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m cuja área seja a maior possível ? justifique sua resposta.

Sejam $x$x e $y$y as dimensões do retângulo. Então,

$2x+2y=100\Rightarrow x+y=50$2x+2y=100⇒x+y=50. (i)

Além disso, sabemos que a sua área é dada por

$A=x\cdot y$A=x⋅y. (ii)

Isolando $y$y em (i) e substituindo em (ii), vem

$A=x\cdot (50-x) = 50x-x^2 \Rightarrow A =50x-x^2$A=x⋅(50−x)=50x−x2⇒A=50x−x2,

onnde

$A' = 50-2x$A′=50−2x.

Igualando nossa derivada a $0$0, segue que

$50-2x=0\Rightarrow x=25$50−2x=0⇒x=25,

ou seja, $x=25$x=25 é o valor para o qual a nossa área é máxima.

Substituindo o valor de $x$x em (i), obtemos $y=25$y=25 . Portanto, para que um retângulo de perímetro $100\,cm$100cm tenha área máxima, suas dimensões devem ser $25\times 25.$25×25.