¿Por qué una integral siempre lleva al final de la expresión un "dx" haciendo referencia a la derivada? ¿Si la derivada de una integral es la...

La razón es más bien histórica, pero tiene también tiene un interés práctico. Originalmente la integral se concibió como una "suma infinita" (después Riemann lo formalizó, correctamente, como el límite de una sucesión de sumas!). De todas maneras, no faltan libros de matemáticas, un tanto formalistas, que no sin razón, expresan la integral de una función ffsencillamente como:

∫f∫f

y es perfectamente correcto. Pero sigamos aclarando por qué es más frecuente escribir esto como:

∫f(x) dx∫f(x) dx

Si pensamos en una función, pongamos continua por simplificar, entonces se puede aproximar el área bajo la curva (o integral definida) mediante rectángulos, por ejemplo, y tendríamos algo así:

Aquí la curva está en negro grueso. Los rectángulos verdes son una suma inferior, porque aproximan el área, pero por defecto (es decir, por un valor menor). Mientras que los rectángulos amarillos aproximan el área por exceso (es decir, un valor mayor). Podemos aproximar la integral de la curva negra por:

∫10f(x) dx≈∑i=1nf(xi) Δx=f(x1)Δx+f(x2)Δx+⋯+f(xn)Δx∫01f(x) dx≈∑i=1nf(xi) Δx=f(x1)Δx+f(x2)Δx+⋯+f(xn)Δx

donde f(xi)f(xi) es la altura del rectángulo i-ésimo y ΔxΔx es la base de cualquiera de los rectángulos. Si una función es integrable en el sentido de Riemann la aproximación anterior se convertirá en una igualdad:

∫10f(x) dx=limn→∞∑i=1nf(xi) Δxn∫01f(x) dx=limn→∞∑i=1nf(xi) Δxn

donde además Δxn=1/nΔxn=1/n. Dado que este es el origen de la noción de integral más elemental, no es difícil entender el signo. En el siglo XVII no se usaba el signo ∑∑ para expresar sumas sino SS (de summa), así que Leibnitz transformó ese símbolo en ∫∫ para indicar que es una "suma integral". El incremento ΔxΔx o equivalentemente δxδx se acabó escribiendo como dxdx y ese es el origen histórico:

Sf(x) δx→∫f(x) dxSf(x) δx→∫f(x) dx

Sin embargo, esa no es toda la historia: después de Riemann otros matemáticos extendieron la noción de integral; por ejemplo, en la integral de Riemann-Stieltjes se usa la notación:

∫10f(x) dg(x)=limn→∞∑i=1nf(xi) Δgi∫01f(x) dg(x)=limn→∞∑i=1nf(xi) Δgi

donde Δgi=g(xi−1)−g(xi)Δgi=g(xi−1)−g(xi), siendo g(x)g(x) la función que da la "medida de integración"; obviamente si consideramos g(x)=xg(x)=x la integral de Riemann-Stieltjes coincide con la vieja integral de Riemann que es un caso particular de la primera. Obviamente, esto empieza a hacer práctico que aparezca dxdx o dgdg para diferenciar. Y también cuando dentro de la expresión para f(x)f(x) aparecen otras variables o parámetros (al incluir el dxdx que más aclara la variable sobre la que se integra).

Pero esto no es tampoco el final de historia: a principios del siglo XX, Henri Lebesgue ideó la llamada integral de Lebesgue, que era más general que la de Riemann-Stieltjes. Para ello inventó lo que se conoce como una medida abstracta μμ, que puede no venir dada por una función como la de Stieltjes y esa integral se escribe como:

∫f(x) dμ∫f(x) dμ

Y a partir de ahí la cosa se disparó: la integral de Itō usa una medida aún más abstracta dada por un proceso estocástico:

Yt=∫t0HsdXs,Yt=∫0tHsdXs,

donde Yt,Hs,XsYt,Hs,Xs son procesos estocásticos (colecciones de variables aleatorias indexadas por un parámetro). Así que como se ve la idea de mantener d(algo)d(algo), a largo plazo, fue buena idea y con el tiempo ese "algo" se ha ido volviendo más y más abstracto.