En matemáticas, ¿qué son las integrales?

Las integrales son dos cosas aparentemente distintas… que resultan ser lo mismo; y eso es una de las enormes bellezas del cálculo diferencial e integral. Veamos ambos sentidos de la integral:

Primer sentido de la integral

Dada una función, f(x)f(x), su integral

F(x)=∫f(x) dxF(x)=∫f(x) dx

es toda aquella función F(x)F(x) cuya derivada es la inicial, es decir F′(x)=f(x).F′(x)=f(x).

Decimos toda aquella función, porque como la derivada de una constante es cero, habrá infinitas funciones cuya derivada es la dada, difiriendo unas de otras en el valor de una constante.

Segundo sentido de la integral

Por otro lado, dada una función f(x)f(x), su integral

F(a,b)=∫baf(x) dxF(a,b)=∫abf(x) dx

es el área comprendida entre la gráfica de la función, el eje OX y las verticales x=a y x=b

Ahora bien, si comenzamos a contar el área desde el valor 0 hasta un valor que llamaremos xx, cambiando el valor (mudo) de la variable de xx a tt para no confundirnos, tendremos:

F(x)=∫x0f(t) dtF(x)=∫0xf(t) dt

Pues bien, la magia es que la integral en este segundo sentido coincide con la integral en el primer sentido. La función F(x)F(x) , primitiva, integral o antiderivada de f(x)f(x) , además de ser aquella función cuya derivada es la inicial, nos indica el valor del área de la función original f(x)f(x) entre las verticales t=0t=0 y t=xt=x .

Esta magia se denomina Teorema Fundamental del Cálculo.