Si lanzas un dado 1000 veces, sumas los números que obtuviste y obtienes 3698, ¿El dado ha sido alterado?

A2A*. Sólo puedes estimar la probabilidad de que el dado NO esté alterado, no puedes decir con seguridad nada, si dicha probabilidad de baja entonces la probabilidad de su contrario (dado alterado) será alta: El resultado de la suma de lanzar un dado 1000 veces es un número N entre 1000 y 6000, con valor esperado 3500. La distribución de probabilidad para la variable aleatoria N puede ser derivada a partir de una distribución binomial. En realidad debido al teorema del límite central podemos suponer que N se distribuye según una distribución normal de parámetros μ0μ0 y σ0σ0 dados por:

μ0=1000⋅1+2+3+4+5+66=3500μ0=1000⋅1+2+3+4+5+66=3500
σ0=1000⋅16∑6k=1(k−μ)2−−−−−−−−−−−−−√≈1707,8σ0=1000⋅16∑k=16(k−μ)2≈1707,8

Esto nos permitiría hacer una prueba-Z para determinar la probabilidad de que la suma haya resultado 3698, suponiendo que el dado no haya sido trucado tenemos:

Z∗=3698−35001707,8/1000−−−−√≈3,6662…Z∗=3698−35001707,8/1000≈3,6662…

Consultando la probabilidad de que haya sido un azar tenemos que la probabilidad de un valor así de Z∗Z∗ es aproximadamente 0,0001 (esta variable Z sigue también una distribución normal o gaussiana, Z∗∼Norm(μ0,σ0/1000−−−−√)Z∗∼Norm(μ0,σ0/1000)).

Conclusión: Parece muy poco probable que se haya obtenido 3698 por azar con un dado no alterado. Lo razonable parece ser asumir que el dado ha sido alterado y por eso hemos obtenido algo que a priori parece alejarse demasiado de lo esperado (una suma cercana a 3500). Los valores para considerar que el dado es “normal” implicarían que −1,96≤Z∗≤+1,96−1,96≤Z∗≤+1,96, es decir, que el la suma debería estar siempre entre 3394 y 3605, para considerar que la probabilidad de que el dado estuviera alterado no es superior al 95%, con 3698 estamos claramente fuera de ese rango y el dado muy probablemente está alterado.