¿Qué es la métrica en matemáticas?

Una métrica es exactamente el concepto matemático riguroso que extiende el concepto intuitivo que todos tenemos de distancia. Para hablar de distancia, todos sabemos varias cosas sin necesidad de pensar mucho, que son claras e intuitivas:

1. Que tenemos que estar previamente instalados en un conjunto de puntos (por ejemplo, de lugares en la superficie terrestre).
2. Que una distancia solo tiene sentido entre un par de puntos.
3. Que las distancias son iguales en un sentido o en el contrario, y que siempre son medidas positivas
4. Que si voy de un punto A a otro B pasando por un tercero, es posible que la distancia sea mayor que si no exijo pasar por ese tercer punto, auqnue pudiera darse el caso de que la distancia sea la misma (si el tercer punto está en el camino de A a B)

La matemática formaliza todas estas nociones en el concepto de métrica, de la siguiente manera:

Para que exista una métrica definida debe existir primero un espacio previo (que en principio puede no tener ninguna estructura especial. Sea pues XX tal espacio, y sean sus elementos x,y,z…x,y,z….

Una métrica o distancia es una aplicación definida en el conjunto X×XX×X, es decir, en el producto cartesiano de XX por sí mismo, que no es otra cosa que el conjunto de pares ordenados (x,y);x,y∈Xx,y);x,y∈X con valores en R+R+ , es decir, en el conjunto de los números reales positivos mayores o iguales a cero.

Esta aplicación tiene pues la forma d:X×X∋(x,y)⟶d(x,y)∈R+d:X×X∋(x,y)⟶d(x,y)∈R+

y además debe cumplir cuatro propiedades:

1.- d(x,y)≥0;∀x,y∈Xd(x,y)≥0;∀x,y∈X

2.- d(x,y)=0d(x,y)=0 si y solo si x=y;∀x,y∈Xx=y;∀x,y∈X

3.- d(x,y)=d(y,x);∀x,y∈Xd(x,y)=d(y,x);∀x,y∈X

4.- d(x,y)+d(y,z)≤d(x,z);∀x,y,z∈Xd(x,y)+d(y,z)≤d(x,z);∀x,y,z∈X

La primera propiedad, tal y como hemos definido la función, no es necesaria, pues ya estaba definida sobre los reales positivos o cero, R+R+. La segunda indica que una distancia entre dos puntos no puede ser cero a no ser que coincidan ambos puntos, la tercera indica que la distancia es simétrica: no importa el orden en el que se tomen los puntos, la distancia de Madrid a Buenos Aires es la misma que la distancia de Buenos Aires a Madrid. Y la cuarta es la llamada propiedad triangular, que indica que si pasamos por un punto intermedio, la distancia total será mayor o igual que la original entre los dos extremos (en el caso geométrico del espacio euclídeo la igualdad se dará sólo cuando los tres puntos estén en línea recta).

Un espacio sobre el que se ha definido una métrica de este tipo se denomina espacio métrico.