Ejercicio B3. (Calificación máxima: 2.5 puntos) Dadas las rectas r ≡ ????−21 =????+11 =????+4 −3 , s ≡{ ???? + ???? = 2 −2???? + ???? − 2???? = 1 a) (1.5 puntos)...

a) Ecuación de la recta perpendicular común a r y s

Para encontrar la ecuación de la recta perpendicular común a r y s, primero debemos encontrar las pendientes de ambas rectas. La pendiente de la recta r es:

m_r = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) = (-3 - (-1))/(4 - 2) = -2/2 = -1

La pendiente de la recta s es:

m_s = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) = (2 - 1)/(1 - 0) = 1/1 = 1

Como dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1, entonces la pendiente de la recta perpendicular común a r y s es:

m_p = m_r * m_s = -1 * 1 = -1

Sabemos que la pendiente de la recta perpendicular común es -1, por lo que la ecuación de la recta puede ser escrita en la forma:

y - y_1 = -1(x - x_1)

Para encontrar los parámetros x_1 y y_1, podemos tomar un punto que pertenezca a ambas rectas. Un punto que pertenece a la recta r es (2, -1), por lo que podemos tomar este punto como (x_1, y_1). Un punto que pertenece a la recta s es (0, 1), por lo que podemos tomar este punto como (x_2, y_2).

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta, obtenemos:

-1 = -1(0 - 2)
y - (-1) = -1(x - 2)
y + 1 = -x + 2
y = -x + 1

Por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular común a r y s es:

y = -x + 1

b) Distancia entre r y s

Para calcular la distancia entre r y s, podemos utilizar la fórmula de la distancia entre dos puntos:

d = √((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2)

Un punto que pertenece a la recta r es (2, -1), por lo que podemos tomar este punto como (x_1, y_1). Un punto que pertenece a la recta s es (0, 1), por lo que podemos tomar este punto como (x_2, y_2).

Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos:

d = √((2 - 0)^2 + (-1 - 1)^2)
d = √(4 + 4)
d = √(8)
d = 2√2

Por lo tanto, la distancia entre r y s es 2√2.

Respuesta:

a) La ecuación de la recta perpendicular común a r y s es:

y = -x + 1

b) La distancia entre r y s es 2√2.