B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos. Dados los puntos P (−3, 1, 2) y Q(−1, 0, 1) y el plano π de ecuación x+ 2y − 3z = 4, se pide: a) (1 punto)...

B.3.

a)

La proyección de Q sobre π es el punto P' que se encuentra en la recta que une Q y el vector normal al plano π.

El vector normal al plano π es n = (1, 2, -3).

La ecuación de la recta que une Q y P' es:

r = Q + t * n
r = (-1, 0, 1) + t * (1, 2, -3)
r = (-1 + t, 2t, -3t + 1)

Para que r pertenezca a π, la ecuación de la recta debe cumplir la ecuación del plano π. Por lo tanto, tenemos:

(-1 + t) + 2 * 2t - 3 * (-3t + 1) = 4
t = 1/2

Por lo tanto, las coordenadas del punto P' son:

P' = (-1 + 1/2, 2 * 1/2, -3 * 1/2 + 1)
P' = (-0.5, 1, -1.5)

Puntuación:

• 1 punto: Obtención de las coordenadas de P'.

b)

La ecuación del plano paralelo a π que pasa por P es:

x + 2y - 3z = a

Sustituyendo las coordenadas de P, tenemos:

-3 + 2 * 1 - 3 * 2 = a
a = -1

Por lo tanto, la ecuación del plano es:

x + 2y - 3z = -1

Puntuación:

• 0.5 puntos: Obtención de la ecuación del plano.

c)

La ecuación del plano perpendicular a π que contiene a P y Q es:

n * (x - p_x) + m * (y - p_y) + l * (z - p_z) = 0

Sustituyendo los valores de n, p_x, p_y, p_z, tenemos:

(1, 2, -3) * (x + 3) + (2, 0, 3) * (y - 1) + (-3, -2, 1) * (z - 2) = 0
x + 3 + 2y - 2 + 3z - 6 = 0
x + 2y + 3z - 1 = 0

Puntuación:

• 1 punto: Obtención de la ecuación del plano.

Total:

• B.3.a: 1 punto
• B.3.b: 0.5 puntos
• B.3.c: 1 punto
• Total: 2.5 puntos