Sea S un conjunto y sea fk : S ! V una sucesión de funciones. De�nición 5.26 Decimos que la serie de funciones 1P k=1 fk converge uniformemente en S si la sucesión de funciones gn := Pn k=1 fk converge uniformemente en S a una función S ! V; a la que se denota 1P k=1 fk: Un ejemplo importante de series de funciones son las series de potencias. De�nición 5.27 Sea (ak) una sucesión en R y sea x0 2 R. La serie 1P k=0 ak(x� x0) k de funciones reales de variable real x se llama una serie de potencias. Su radio de convergencia se de�ne como R := supfr 2 [0;1) : 1P k=0 akr k converge en Rg 2 [0;1]: El siguiente resultado justi�ca llamar a R el radio de convergencia. Teorema 5.28 Sean (ak) una sucesión en R y x0 2 R. (a) Las series de potencias 1P k=0 ak(x� x0) k y 1P k=1 kak(x� x0) k�1 convergen uniformemente en [x0 � r; x0 + r] para todo r 2 (0; R); donde R es el radio de convergencia de P1 k=0 ak(x� x0) k: (b) La función f(x) := 1P k=0 ak(x� x0) k es continuamente diferenciable en (x0 �R; x0 +R) y su derivada está dada por f 0(x) = 1P k=1 kak(x� x0) k�1: Demostración: (a) Sea r 2 (0; R): De�nimos fk 2 C0[x0 � r; x0 + r] como fk(x) := ak(x� x0) k, k � 0: Probaremos que la sucesión (fk) satisface el criterio de Weierstrass. De la de�nición del radio de convergencia se sigue que existe r̂ 2 (r; R] \ R tal queP1 k=0 akr̂ k converge en R. Por tanto, existe c 2 R tal que ��akr̂ k�� < c para todo k 2 N (Proposición 5.23) y, en consecuencia, jfk(x)j = jakj jx� x0j k � jakj r̂ k�k � c�k 8k 2 N, 8x 2 [x0 � r; x0 + r]; donde � := r r̂ : Se tiene entonces que kfkk1 := m�ax x2[x0�r;x0+r] jfk(x)j � c�k 8k 2 N: Como � 2 (0; 1); la serie de números reales P1 k=0 � k converge. Por consiguiente, la serieP1 k=0 kfkk1 converge [Ejercicio 5.45] y el Teorema 5.25 implica que la serie 1P k=0 ak(x� x0) k converge uniformemente en [x0 � r; x0 + r]: Por otra parte, si de�nimos gk 2 C0[x0�r; x0+r]; como gk(x) := kak(x�x0) k�1; k � 1; tenemos que jgk(x)j = k jakj jx� x0j k�1 � c r̂ k�k�1 8k 2 N, 8x 2 [x0 � r; x0 + r]: Por tanto, kgkk1 := m�ax x2[x0�r;x0+r] jgk(x)j � c r̂ k�k�1 8k 2 N: Dado que la serie P1 k=1 k� k�1converge en R, argumentando como en el caso anterior, concluímos que la serie 1P k=1 kak(x� x0) k�1 converge uniformemente en [x0 � r; x0 + r]: (b) Sea r 2 (0; R) y denotemos por Fk(x) := kP j=0 aj(x� x0) j; f(x) := 1P j=0 aj(x� x0) j; g(x) := 1P j=1 jaj(x� x0) j�1: Fk es continuamente diferenciable, y acabamos de probar que (Fk) converge a f y (F 0k) converge a g uniformemente en [x0 � r; x0 + r]: El Teorema 5.18 asegura entonces que f es continuamente diferenciable en [x0 � r; x0 + r] y que f 0 = g.