30. Demostração: Aceptemos que c1, c2, c3, … sea la sucesión definida recursivamente por c1 1 y ck 3ck฀1 1 para todos los enteros k 2. Dejemos ...

30. Demostração: Aceptemos que c1, c2, c3, … sea la sucesión definida recursivamente por c1 1 y ck 3ck฀1 1 para todos los enteros k 2. Dejemos que la propiedad P(n) sea la ecuación cn = 3n−1 2 . Por inducción matemática, demostremos que P(n) es verdadero para todos los enteros n 1. Demostración de que P(1) es verdadero: Cuando n 1, el lado derecho de la ecuación es 31−1 2 = 3−1 2 = 1 y por definición de c1, c2, c3,…, el lado izquierdo de la ecuación, c1, también es 1. Así la propiedad es verdadera para n 1. Demostración de que para todos los enteros k 1, si P(k) es verdadero, entonces P(k 1) también es verdadero: Suponga que ck 3k ฀ 1 2 para algún entero k 1. [Esto es la hipótesis de inducción]. Debemos demostrar que c k 1 3k ฀ 1 2 . Pero ck 1 3ck 1 por definición de c1 c2 c3 3 3k ฀ 1 2 1 sustituyendo la hipótesis de inducción 3k 1 ฀ 3 2 2 2 3k 1 ฀ 1 2 por álgebra básica.