Otra forma de expresar el radio vector r es: r = )(cos1 Ch 1 C 0 2/1 2 2 2 ω−ω         + µ + µ entonces, si definimos µ 2C = p y e = 2/1 2 2Ch 1         µ + resulta la siguiente expresión “clásica”: r = )(cose1 p 0ω−ω+ (2.13) que representa la ecuación, en coordenadas polares, de una cónica 1, i.e., es la trayectoria que describe el punto masa m1 con respecto al punto m0 (origen de referencia) denominado foco de la cónica; las cantidades e y ω0 son constantes arbitrarias y p, semilatus rectum, un parámetro. La forma de la cónica esta definida por los valores que adopta e, excentricidad, a saber: e = 0 es una circunferencia e = 1 es una parábola e < 1 es una elipse ⇒ (Primera ley de Kepler) e > 1 es una hipérbola Resumen. Las ecuaciones del movimiento relativo de m1 respecto de m0, en el plano {x,y}, son: x r x 3 .. µ + = 0 x r x 3 .. µ + = 0, donde )mm(k 10 2 +=µ . Las integrales primeras del sistema de ED, integrales del movimiento son: .. xy yx − = C )yx( 2 1 2 . 2 . + = r µ + h, donde: r 2 = x 2 + y 2 ; llamadas integral de las áreas y de la energía respectivamente. Estas expresiones, en coordenadas polares tienen la forma: 2r ω = C )rr( 2 1 2 . 22 . ω+ = h r + µ Entonces, a partir de este sistema de ecuaciones diferenciales hemos deducido la ecuación de la órbita, r = )(cose1 p 0ω−ω+ donde p = µ 2C es un parámetro y la constante arbitraria e (excentricidad) es función del valor de h, constante de la energía; e = 2/1 2 2Ch 1         µ + , luego e parabola0h1 hiperbola0h1 elipse0h1 La representación gráfica del movimiento relativo de dos cuerpos, en el plano y en coordenadas polares, se muestra en la Figura 4. a e m0 m1 • ΠΠΠΠ r ω ω0 Periastro a Fig. 4. Descripción del movimiento de m1 respecto de m0 en coordenadas polares. ΠΠΠΠ es la posición del periastro. Las coordenadas polares que definen la posición de m1 son r y ω. Cálculo de los valores máximos y mínimos del radio vector r en función de ω. Suponemos que la dirección del argumento del periastro ω0 coincide con la dirección del eje-x, luego ω0 = 0 y por tanto r será mínimo cuando ω = 0, i.e., si r = ω+ cose1 p resulta para ω = 0 que r será un mínimo, entonces se tiene: r = e1 p + = a (1 – e), por ser p = a (1 – e2). X Y 1 Un concepto muy importante en el estudio de los sistemas dinámicos. El movimiento r (t) es estable si se satisfacen las siguientes dos condiciones: i) r (t) ≠ 0 para todo valor de t en ausencia de colisión. ii) │r (t)│ ≤ c ( c = constante). Si el movimiento es estable, entonces la energía total h del sistema es negativa. (Teorema de Jacobi). Si ω = π entonces r es máximo, ya que r = e1 p − = a (1+e). Además, como hemos visto p = a (1 – e 2) = µ 2C luego, el módulo al cuadrado del vector momento angular tiene la forma, 2C = )e1(a 2 −µ ; también por definición, la excentricidad e tiene la expresión 2 2Ch 1e µ += , (ver pág. 13), entonces e2 = 2 2Ch 1 µ + y reemplazando el valor hallado de C2 resulta )e1()e1(a h 1e 22 −−=− µ y a partir de esta igualdad podemos obtener h como: )e1( )e1( a h 2 2 − −µ −= y por tanto, h = a µ − Expresión que representa la energía total del sistema y nos dice que es inversamente proporcional al semieje mayor de la órbita (una constante del movimiento); además, si e < 1 (órbita elíptica), a es positivo entonces la integral de la energía es negativa y la trayectoria es estable 1. Tercera ley de Kepler. El elemento de área en coordenadas polares se obtiene del triangulo formado por r, (r + dr) y dω, su expresión analítica es: ω= dr 2 1 Ad 2 , ver Figura 5. Teniendo en cuenta la ecuación (2.10), la integral de las áreas: Cr . 2 =ω , resulta C td d r2 = ω ; luego, tdC 2 dr 2 1 2 =ω and por tanto, ω= dr 2 1 Ad 2 = tdC 2 . Entonces, la velocidad areal esta expresada por la ecuación C 2 td Ad = ; i.e., es una constante. Si reemplazamos el valor de la constante C, hallado anteriormente, se obtiene )e1(a 2 1 td Ad 2 −µ= Expresión que relaciona la velocidad areal con los parámetros de la órbita a y e. NOTA: La ecuación (2.14) es válida para e < 1. r d ω r + d r d A eje x ω y Fig. 5. Representación del elemento de área dA 1 En una órbita elíptica a es el semi eje mayor y b el semi eje menor, están relacionados por: b = a (1- e 2) 1/2 . 2 Recordar que la constante µ = k 2 (m0 + m1) donde k es la constante gravitacional del problema de dos cuerpos. Sea T el período de m1 respecto de m0 y n su movimiento medio, i.e., T 2 n π = . Además, por definición, la velocidad areal en una órbita elíptica es: T baπ ; entonces, por definición de movimiento medio T = n 2π luego, la velocidad areal es: T baπ = n 2 ba π π = nba 2 1 = ne1a 2 1 22 − 1 . Por lo tanto, si igualamos las dos expresiones halladas para la velocidad areal, resulta td Ad = )e1(a 2 1 2 22 −µ = ne1a 2 1 22 − , relación que nos permite determinar µ, 32 an=µ = 2 3 2 T a 4π Consideremos dos planetas orbitando el Sol, con masas 1m y 2m ; sean 1a , 1n y 2a , 2n sus semi eje mayor y movimiento medio respectivamente, entonces se satisfacen las siguientes relaciones 2 : 1µ = )mm(k 10 2 + = 3 1 2 1 an 2µ = )mm(k 20 2 + = 3 2 2 2 an donde m0 es la masa del Sol. Dividiendo miembro a miembro estas dos expresiones resulta, 20 10 mm mm + + = 3 2 2 2 3 1 2 1 an an ; el primer miembro se puede expresar de la forma: 20 10 mm mm + + = 1 + 20 21 mm mm + − , luego se tiene 3 2 2 2 3 1 2 1 an an = 1 + 20 21 mm mm + − , (2.