El teorema del Virial. Nociones elementales. Consideremos la función I = ∑= n 1i 2 ii Rm . definida como el momento de inercia de un sistema de n puntos masa 1. Diferenciando dos veces con respecto al tiempo, resulta: 2 1 I = i ii n 1i n 1i 2 i . i R.RmRm ∑∑ == + = 2T + U.R i n 1i i ∇∑ = donde U es una función de punto, homogénea en todas sus coordenadas, de orden -1, entonces aplican_ do el teorema de Euler se tiene, U.R i n 1i i ∇∑ = = ∑ =       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂n 1i i i i i i i z U z y U y x U x = − U = V. Luego, I = 4T − 2 U = 4T + 2 V (3.11) Si tenemos en cuenta la integral de la energía (3.10), la ecuación (3.11) se puede escribir en forma alternativa: I = 4E − 2 V = )ET(2 + (3.12) Las ecuaciones (3.11) y (3.12) representan el Teorema del Virial 2 . En la expresión (3.12) las cantidades T y V son positivas; por lo tanto, si E adopta un valor tal que (4E – 2V) > 0 o (2T + 2E) > 0, i.e., son cantidades positivas entonces, I es positivo y en consecuencia, I aumenta sin límite. Un “sofisma” es concluir que al menos uno de los Ri tiende a infinito, lo cual es equivalente a decir que al menos uno de los cuerpos escapa del sistema 3 . Como ejemplo, supongamos que ttR cos1 = y tsentR =2 entonces 22 2 2 1 tRR =+ expresión que tiende a infinito cuando t→ ∞. Pero no es correcto decir que “al menos uno de los Ri debe aumentar sin límite”. En efecto, se ha demostrado que, sólo en el caso n = 3, al menos uno de los cuerpos escapa del sistema si I es positivo. Para que el sistema se “conserve en conjunto” i.e., sea estable es necesario que E sea negativo y por tanto I debe ser negativo o cero sin embargo, este enunciado no representa una condición suficiente. § 3.5 Introducción al Sistema Heliocéntrico. 1 Morbidelli, A.; 2002, “Modern Celestial Mechanics”, págs. 11, 17, 22-24. 2 Brouwer, D. & Clemence, G.; 1961, “Methods of Celestial Mechanics”, págs. 31-47. 41 § 3.5 Introducción al Sistema Heliocéntrico. Prólogo. Las coordenadas heliocéntricas tienen su origen en el Sol y pueden ser coordenadas cartesianas, eclípticas o ecuatoriales. Se distinguen de las coordenadas geocéntricas porque éstas tienen su origen en la Tierra. Los planetas, asteroides, cometas y otros cuerpos que giran en torno al Sol, incluida la Tierra, se estudian e investigan en coordenadas heliocéntricas. Estas coordenadas expresan la verdadera posición espacial en las unidades físicas adoptadas. Ninguna observación del Sol se puede realizar en coordenadas heliocéntricas. Hay dos clases de sistemas de coordenados que son dos subcategorías: cartesiana-heliocéntrica y heliocéntrica-radial 1 . Coordenadas Cartesianas Heliocéntricas. En el sistema de coordenadas cartesianas {x,y,z}, los ejes son perpendiculares entre sí; el eje-z es definido par