Por último, se demuestra que la suma de los coeficientes: α + α´ + β + β´ − 2 γ = 0, lo cual significa que: − σ + σ´ m µ m ξ − (i − j) = 0 y por tanto, − (j m µ) + (i ± ξ) m µ m ξ − (i − j) = 0, además se cumple que |β + β´ − 2 γ | ≤ |β | + |β´| + 2 γ = H + H´ + F + ( N° par ≥ 0) = orden del coeficiente, y como |α + α´| = |β + β´ − 2 γ | entonces, el orden del coeficiente del término general del desarrollo de ∆ 1 es mayor o igual que el valor absoluto de la suma de los coeficientes de λ y l´ del argumento. NOTA. Recomendamos consultar: Duriez, Luc; 1992, “Le développement de la fonction perturbatrice”, pág. 35. En “Modern Methods in Celestial Mechanics”, Editores Benest, D. et Froeschle, C.; Editorial Editions Frontières. § 7.4 Desarrollo de la parte complementaria de la función perturbadora. Hemos estudiado, en el ítem anterior, que la parte principal de la función perturbadora se puede expresar de la forma, ver ecuación (7.8) pág. 144, válido para e = e´= 0, donde λ = l + τ´− τ; para i = . . . -2, -1, 0, 1, 2, …, j = i, i−2, i−4, i−6, …, además, τ y τ´ representan la longitud del nodo ascendente de m y m´ respectivamente. Entonces, los coeficientes jiK tienen la forma, i,iK = 0α + 2α 2η + 4α 4η + . . . = Mi 2i,iK − = 2β 2η + 4β 4η + . . . = Ni 4i,iK − = 4γ 4η + . . . = Pi Son polinomios de exponente par en η, donde los coeficientes α, β, γ, etc. son funciones homogéneas de grado (−1) respecto de a y a´. También estudiamos el caso general es decir, con excentricidades no necesariamente nulas entonces, la parte principal de la función perturbadora tiene la expresión: ∆ 1 = ∑ Q e H e´ H´ η F cos D (7.12) donde, el argumento D = α l + α´ l´ + β ω + β´ ϖ´ − 2 γ τ´; ω = ϖ + τ´ − τ, ver ecuación (7.12) pág. 151; además, la suma de los coeficientes es igual a cero, i.e., α + α´ + β + β´ − 2 γ ≡ 0, siendo γ un número entero positivo o nulo (γ ≥ 0). Asimismo, los exponentes están determinados por las relaciones: H = | β | + N° par ≥ 0. H´ = | β´ | + N° par ≥ 0. F = 2 γ + N° par. y el orden del coeficiente general del desarrollo esta dado por: H + H´ + F = | α + α´ | + (N° par ≥ 0). Nos vamos a ocupar ahora del desarrollo de la parte secundaria de la función perturbadora, i.e., el desarrollo de la función, 3´r ´zz´yy´xx ++ ⇒⇒⇒⇒ parte complementaria de la función perturbadora de las masas m y m´. donde {x, y, z} son las coordenadas cartesianas del planeta m y {x´, y´, z´} las coordenadas de m´. Fig. 37. P y P´ son los respectivos radios vectores de m y m´ respecto del Sol. V es el ángulo que forman ambos vectores y | P| = r y | P´| = r´. m {x, y, z} m´{x´, y´, z´} V ♦ Sol P r P´ r´ La parte complementaria se puede escribir en función del módulo de los vectores P y P´, de la forma: 3´r ´zz´yy´xx ++ = 3 ´P ´PP →→ = 3´r Vcos´rr = 2´r Vcosr . Donde →→ ´PP es el producto escalar. § 7.4 Desarrollo de la parte complementaria de la función perturbadora. 1 Recordar que cuando e = 0 entonces ν ≡ l (longitud media), pág.140. Por lo tanto, la componente secundaria de la perturbación que m´ ejerce sobre m se puede expresar, escalarmente, en función de las distancias r, r´ y el ángulo V que ellos forman entre sí, luego 3´r ´zz´yy´xx ++ = 2´r Vcosr El coseno de V se puede calcular teniendo en cuenta la Figura 35, pág. 138. Los detalles se muestran en la Figura 38. Fig. 38. El arco V en función de los arcos auxiliares. La longitud verdadera ν y ν ’ de m y m´ respectiva_ mente; la inclinación mutua, J, entre las órbitas; G es el nodo ascendente de m respecto de m´. Para obtener el desarrollo de la parte complementaria de la función perturbadora, efectuamos el mismo procedimiento que para la parte principal i.e., con e = e´= 0, consultar § 7.2, pág. 138; por lo tanto, el término complementario admite el desarrollo 1, C e = e ´= 0 = 2´a a [ ]Jcos)´ĺ(sen)l(sen)´ĺ(cos)l(cos τ−τ−+τ−τ− Haciendo el cambio de variables: cos J = 1 − 2 2J sen 2 , donde 2J sen = η, entonces cos J = 1 − 2 2η ; luego se tiene: C e = e ´= 0 = 2´a a { }[ ])´ĺl(cos)´ĺl(cos2)´ĺl(cos 2 1 2 12 τ−τ−+−τ−τ+−η−τ−τ+− recordar que λ = l + τ´ − τ, luego resulta, después de simplificar: C e = e ´= 0 = 2´a a [ ])´2ĺ(cos)ĺ(cos)1( 22 τ−λ+η+λ−η− entonces, los dos últimos términos, contienen a η2 , tienen la forma: jiK cos [ i l´ − j λ − ( i − j ) τ´] además, el primer término, en esta expresión general, con el argument