Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH 2.6 Números complejos conjugados . Dos números complejos son conjugados si sobre el plano...

Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH

2.6 Números complejos conjugados .

Dos números complejos son conjugados si sobre el plano complejo representan puntos que son simétricos respecto al eje real X . En otras palabras, dos números complejos conjugados tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria ; pero sólo difieren en el signo de su parte imaginaria.

X

Y

r

z





z

r

O

De éste modo, el conjugado del número complejo

z x j y=

se denota por z  y se define como. . .

z  x j y( )  = = x j y ( 2.13 )

En consecuencia, todo punto en el semiplano superior complejo tiene un punto imagen conjugado en el semiplano inferior .

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS :

Si z , z1 y z2 son números complejos distintos de cero entonces valen las siguientes propiedades . . .

I ) z1 z2   z1  z2  = " El conjugado de una suma es la suma de los conjugados "

II ) z1 z2   z1   z2  = " El conjugado de un producto es el producto de los conjugados "

III ) z    z= " El conjugado de un conjugado es el número complejo inicial "

IV )
1 z


 1 z   = " El conjugado de un recíproco es el recíproco del conjugado "

Todas éstas propiedades se pueden demostrar a partir de la definición del conjugado de un número complejo Por ejemplo si

z1 x1 j y1= ; z2 x2 j y2=

son dos números complejos, entonces el conjugado de su suma es . . .

z1 z2   x1 x2  j y1 y2   = ( Sumando los números complejos ) = x1 x2  j y1 y2  ( Por la definición de conjugado ) = x1 j y1  x2 j y2  ( Asociando )