2.8 La fórmula de De Moivre .

Cuando dos números complejos escritos en forma polar se multiplican, sus argumentos se suman y se multiplican sus módulos. Consideremos ahora el producto repetido de un número complejo por si mismo, es decir sus potencias enteras positivas. Sea el número complejo z = z  , entonces . . . z 2 z z= = ( z  ) ( z  ) = z z     = z 2 2  (por la regla de multiplicación en forma polar) de manera similar. . . z 3 z 2 z= = ( z 2 2  ) ( z  ) (Usando el resultado anterior) = z 2 z  2    = z 3 3  y también . . . z 4 z 3 z= = ( z 3 3  ) ( z  ) (Usando el resultado anterior) = z 3 z  3    = z 4 4  De éstos resultados, es fácil inducir que la potencia n-ésima de un número complejo está dada por la expresión . . . z n z n = n  = z n cos n   j sen n     La potencia n-ésima de un número complejo z , es otro número complejo cuyo módulo es el módulo de z elevado a la potencia n y cuyo argumento es el argumento  de z multiplicado por n. Este resultado se conoce como la fórmula de De Moivre y sirve, entre otras cosas, para calcular las raíces de un número complejo ó para obtener algunas identidades trigonométricas para el seno ó el coseno de un múltiplo entero de un ángulo (n), en función del seno y el coseno para ese ángulo . Así por ejemplo, si z z cos  j sen  = su cuadrado es . . . z 2 = z 2 2  = z 2 cos 2   j sen 2    Pero por otra parte, en la fórmula de De Moivre con n 2= se obtiene : z 2 = z 2 2  = z 2 cos 2  j sen 2