cuadráticos irreducibles : a x 2 b x c m, donde a , b , c , p y q son constantes y los enteros positivos m , n representan el...

cuadráticos irreducibles : a x 2 b x c m, donde a , b , c , p y q son constantes y los enteros positivos m , n representan el grado de repetición de cada factor. Factores lineales . Por cada uno de los factores lineales p x q( ) n, se debe  incluir en la descomposición una suma de n fracciones ( Teorema 1 ) de la forma : A1 p x q( ) A2 p x q( ) 2  A3 p x q( ) 3  ......... An p x q( ) n  donde A1 , A2 , . . ., An son constantes por determinar. Factores cuadráticos . Por cada uno de los factores cuadráticos  a x 2 b x c m, se debe incluir en la descomposición una suma de m fracciones ( Teorema 2 ) de la forma : B1 x C1 a x 2 b x c  B2 x C2 a x 2 b x c  2  ......... Bm x Cm a x 2 b x c m  donde B1 , B2 , . . ., Bm y C1 , C2 , . . ., Cm son constantes por determinar. Métodos de solución. Los métodos de cálculo para las constantes de las fracciones parciales en el procedimiento anterior son diversos; algunos serán más simples que otros, dependiendo de las raices del denominador de la función racional es decir , dependiendo de que los factores del denominador Q x( ) de f x( ) P x( ) Q x( ) = sean : I . lineales y no repetidos II . lineales repetidos III . cuadráticos irreducibles no repetidos IV . cuadráticos irreducibles repetidos ó una combinación de éstos casos. Pedro Ferreira Herrejón 204 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH 4.4.1 Caso I : Factores lineales no repetidos. Solución por substitución. Cuando el denominador de la función racional propia f x( ) P x( ) Q x( ) = contiene solamente factores lineales no repetidos , es decir se factoriza como: Q x( ) p1 x q1  p2 x q2  p3 x q3  ......... pn x qn = entonces f x( ) se desarrolla en la siguiente suma de fracciones parciales : f x( ) P x( ) Q x( ) = A1 p1 x q1  A2 p2 x q2  A3 p3 x q3  ............. An pn x qn = siendo r1 q1 p1 = , r2 q2 p2 = , r3 q3 p3 = , . . . , rn qn pn = las raices de Q x( ) . En éste caso es obvio que . . . f x( ) p1 x q1  A1 A2 p1 x q1  p2 x q2  A3 p1 x q1  p3 x q3  ............. An p1 x q1  pn x qn = y dado que todas las raices son diferentes, al evaluar éste producto en x r1= q1 p1 = , todos los términos de la derecha se anularán excepto A1 , esto es : A1 f x( ) p1 x q1 = evaluado en x r1= q1 p1 = Similarmente es obvio que . . . f x( ) p2 x q2  A1 p2 x q2  p1 x q1  A2 A3 p2 x q2  p3 x q3  ............. An p2 x q2  pn x qn = y dado que todas las raices son diferentes, al evaluar éste producto en x r2= q2 p2 = , todos los términos de la derecha se anularán excepto A2 , esto es : A2 f x( ) p2 x q2 = evaluado en x r2= q2 p2 = Pedro Ferreira Herrejón 205 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH De manera general, el coeficiente k-ésimo del desarrollo se calcula entonces como : Ak f x( ) pk x qk = evaluado en x rk= qk pk = ( 4.5 ) De modo que para calcular el coeficiente Ak sólo hay que evaluar el producto de f x( ) por el factor lineal correspondiente pk x qk  precisamente en la raiz x qk pk = . Ejemplo 2. Desarrollar la función racional : f x( ) 11 x 2 26 x 57 x 1( ) 2 x 3( ) 3 x 5( ) = en fracciones parciales Solución : Notemos que f x( ) es propia y además tiene tres factores lineales distintos en el denominador siendo las raices correspondientes r1 1= , r2 3 2 = y r3 5 3 = , por lo tanto se propone el desarrollo : f x( ) A1 x 1( ) A2 2 x 3( )  A3 3 x 5( ) = y de acuerdo con ( 4 .5 ) . . . A1 f x( ) x 1( )= evaluado en x r1= 1= = 11 x 2 26 x 57  x 1( ) 2 x 3( ) 3 x 5( )     